海量数据集利用Minhash寻找相似的集合【推荐优化】

MinHash 首先它是一种基于 Jaccard Index 相似度的算法，也是一种 LSH 的降维的方法，应用于大数据集的相似度检索、推荐系统。下边按我的理解介绍下MinHash

问题背景

给出N个集合，找到相似的集合对，如何实现呢？直观的方法是比较任意两个集合。当N比较小时，比如K级，Jaccard算法可以在接受的时间范围内完成，比B级，甚至P级，那么需要的时间是不能够被接受的，举例：对于Indeeed美国的网站用户来说（五千万的访问量），在Mahout中的用户间相似度是通过在O(n²)复杂度下的用户间两两比较的来实现的，假设一台计算机每秒可以计算1Billion=1,000,000,000对集合是否相同，这个比较的数量将达到50,000,000**2次,约15小时，这是难以接受的！

Jaccard相似度计算虽然比较精确，但是推荐是一个非精确匹配问题（N个集合中只有少数几对集合相似，绝大多数集合都不等呢？那么根据上述算法，绝大多数检测的结果是两个结合不相似，可以说这些检测“浪费了计算时间”）。如果能找到一种算法，将大体上相似的集合聚到一起，缩小比对的范围，这样只用检测较少的集合对，就可以找到绝大多数相似的集合对，大幅度减少时间开销。虽然牺牲了一部分精度，但是如果能够将时间大幅度减少，这种算法还是可以接受的。

启发：贡献者戴夫格里菲思从一篇谷歌新闻学术论文上看到了最小哈希方法。最小哈希（或者最小独立序列）允许近似计算杰卡德相似度。将这一方法应用到两个用户都点击过的职位上，我们发现两个用户有更多共同的职位点击，那么他们的杰卡徳相似度就越高。为所有的用户对计算杰卡徳相似度的复杂度是O(n^2)，而有了最小哈希后，我们可以将复杂度降到O(n)。

接下来的内容讲解如何使用Minhash和LSH（Locality-sensitive Hashing）来实现上述目的，在相似的集合较少的情况下，可以在O(n)时间找到大部分相似的集合对。

Jaccard相似度

判断两个集合是否相等，一般使用称之为Jaccard相似度的算法（后面用Jac(S₁,S₂)来表示集合S₁和S₂的Jaccard相似度）。举个列子，集合X = {a,b,c}，Y = {b,c,d}。那么Jac(X,Y) = 2 / 3 = 0.67。也就是说，结合X和Y有67%的元素相同。下面是形式的表述Jaccard相似度公式：

Jac(X,Y) = |X∩Y| / |X∪Y|

也就是两个结合交集的个数比上两个集合并集的个数。范围在[0,1]之间。

Minhash降维

最近的一个由斯坦福大学教授莱斯科维克、拉贾罗曼和厄尔曼讲解的Coursera课程“挖掘海量数据集”，非常详细的解释了最小哈希。他们书的第三章——“挖掘海量数据集”，解释了最小哈希背后的数学证明原理。

Minhash可以帮助我们解决时间复杂度这个问题。举例：S₁ = {a,d,e}，S₂ = {c, e}，设全集U = {a,b,c,d,e}。集合可以如下表示：

行号	元素	S1	S2	类别
1	a	1	0	Y
2	b	0	0	Z
3	c	0	1	Y
4	d	1	0	Y
5	e	1	1	X

表1

表1中，列表示集合，行表示元素，值1表示某个集合具有某个值，0则相反（X，Y，Z的意义后面讨论）。Minhash算法大体思路是：采用一种hash函数，将元素的位置均匀打乱，然后将新顺序下每个集合第一个元素作为该集合的特征值。比如哈希函数h₁(i) = (i + 1) % 5，其中i为行号。作用于集合S₁和S₂，得到如下结果：

行号	元素	S1	S2	类别
1	e	1	1	X
2	a	1	0	Y
3	b	0	0	Z
4	c	0	1	Y
5	d	1	0	Y
Minhash		e	e

表2

这时，Minhash(S₁) = e，Minhash(S₂) = e。也就是说用元素e表示S₁，用元素e表示集合S₂。那么这样做是否科学呢？进一步，如果Minhash(S₁) 等于Minhash(S₂)，那么S₁是否和S₂类似呢？

论证：最小哈希（或者最小独立序列）允许近似计算杰卡德相似度

P(Minhash(S­₁) = Minhash(S₂)) = Jac(S₁,S₂)

在哈希函数h₁均匀分布的情况下，集合S₁的Minhash值和集合S₂的Minhash值相等的概率等于集合S₁与集合S₂的Jaccard相似度，下面简单分析一下这个结论。

S₁和S₂的每一行元素可以分为三类：

l  X类 均为1。比如表2中的第1行，两个集合都有元素e。

l  Y类 一个为1，另一个为0。比如表2中的第2行，表明S₁有元素a，而S₂没有。

l  Z类 均为0。比如表2中的第3行，两个集合都没有元素b。

这里忽略所有Z类的行，因为此类行对两个集合是否相似没有任何贡献。由于哈希函数将原始行号均匀分布到新的行号，这样可以认为在新的行号排列下，任意一行出现X类的情况的概率为|X|/(|X|+|Y|)。这里为了方便，将任意位置设为第一个出现X类行的行号。所以P(第一个出现X类) = |X|/(|X|+|Y|) = Jac(S₁,S₂)。这里很重要的一点就是要保证哈希函数可以将数值均匀分布，尽量减少冲撞。

一般而言，会找出一系列的哈希函数，比如h个（h << |U|），为每一个集合计算h次Minhash值，然后用h个Minhash值组成一个摘要来表示当前集合（注意Minhash的值的位置需要保持一致）。举个列子，还是基于上面的例子，现在又有一个哈希函数h₂(i) = (i -1)% 5。那么得到如下集合：

行号	元素	S1	S2	类别
1	b	0	0	Z
2	c	0	1	Y
3	d	1	0	Y
4	e	1	1	X
5	a	1	0	Y
Minhash		d	c

表3

所以，现在用摘要表示的原始集合如下：

哈希函数	S1	S2
h1(i) = (i + 1) % 5	e	e
h2(i) = (i - 1) % 5	d	c

表4

从表四还可以得到一个结论，令X表示Minhash摘要后的集合对应行相等的次数（比如表4，X=1，因为哈希函数h₁情况下，两个集合的minhash相等，h₂不等）：

X ~ B(h,Jac(S₁,S₂))

X符合次数为h，概率为Jac(S₁,S₂)的二项分布。那么期望E(X) = h * Jac(S₁,S₂) = 2 * 2 / 3 = 1.33。也就是每2个hash计算Minhash摘要，可以期望有1.33元素对应相等。

所以，Minhash在压缩原始集合的情况下，保证了集合的相似度没有被破坏。

LSH – 局部敏感哈希

现在有了原始集合的摘要，但是还是没有解决最初的问题，仍然需要遍历所有的集合对,，才能所有相似的集合对，复杂度仍然是O(n²)。所以，接下来描述解决这个问题的核心思想LSH。其基本思路是将相似的集合聚集到一起，减小查找范围，避免比较不相似的集合。仍然是从例子开始，现在有5个集合，计算出对应的Minhash摘要，如下：

	S1	S2	S3	S4	S5
区间1	b	b	a	b	a
	c	c	a	c	b
	d	b	a	d	c
区间2	a	e	b	e	d
	b	d	c	f	e
	e	a	d	g	a
区间3	d	c	a	h	b
	a	a	b	b	a
	d	e	a	b	e
区间4	d	a	a	c	b
	b	a	c	b	a
	d	e	a	b	e

表5

上面的集合摘要采用了12个不同的hash函数计算出来，然后分成了B = 4个区间。前面已经分析过，任意两个集合（S₁，S₂）对应的Minhash值相等的概率r = Jac(S₁，S₂)。先分析区间1，在这个区间内，P(集合S₁等于集合S₂) = r³。所以只要S­₁和S₂的Jaccard相似度越高，在区间1内越有可能完成全一致，反过来也一样。那么P(集合S₁不等于集合S₂) = 1 - r³。现在有4个区间，其他区间与第一个相同，所以P(4个区间上，集合S₁都不等于集合S₂) = (1 – r³)⁴。P(4个区间上，至少有一个区间，集合S₁等于集合S₂) = 1 - (1 – r³)⁴。这里的概率是一个r的函数，形状犹如一个S型，如下：

图1

如果令区间个数为B，每个区间内的行数为C，那么上面的公式可以形式的表示为：

P(B个区间中至少有一个区间中两个结合相等) = 1 - (1 – r^C)^B

领r = 0.4，C=3，B = 100。上述公式计算的概率为0.9986585。这表明两个Jaccard相似度为0.4的集合在至少一个区间内冲撞的概率达到了99.9%。根据这一事实，我们只需要选取合适的B和C，和一个冲撞率很低的hash函数，就可以将相似的集合至少在一个区间内冲撞，这样也就达成了本节最开始的目的：将相似的集合放到一起。具体的方法是为B个区间，准备B个hash表，和区间编号一一对应，然后用hash函数将每个区间的部分集合映射到对应hash表里。最后遍历所有的hash表，将冲撞的集合作为候选对象进行比较，找出相识的集合对。整个过程是采用O(n)的时间复杂度，因为B和C均是常量。由于聚到一起的集合相比于整体比较少，所以在这小范围内互相比较的时间开销也可以计算为常量，那么总体的计算时间也是O(n)。

经验之谈：

minHash算法只适合较细粒度的聚类，太粗的话不好弄

参考：

[1]       书籍《Mining of Massive Datasets》的第三章Find Similar Item，由Anand Rajaraman，Jure Leskovec和Jeffrey David Ullman著

[2]       http://www.cnblogs.com/bourneli/archive/2013/04/04/2999767.html