【NOIP2016提高组】 Day2 T1 组合数问题

题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2822                 ↓题目大意↓

数据的极限范围：n,m≤2000，k≤21，数据组数≤10000。

由于此题k不大于21，故在计算组合数Cij时，并不需要存储它的真实数值，只需要存储其≤19的所有素因子的个数，判断Cij是否为k的倍数，仅需要判断Cij中各素因子的个数是否大于等于k中的个数即可。基于组合数的性质，我们如果要求出Cij,我们可以通过Ci(j-1)乘上i-j+1然后再除以j即可得到。

下面来考虑如何乘以或除以一个数x。若需要在Ci(j-1)的基础上乘以x，可以考虑将x分解质因数，仅将其≤19的全部素因子与Ci(j-1)的素因子个数进行累加。除法同理，加法改成减法即可。

最后维护一个二维数组b。若b[i][j]=1，则表示Cij是k的倍数。输入n,m时，将b[1..n][1..m]进行累加即可得出答案。很明显这么操作依然会TLE，使用另一数组维护b[i][j]的前缀和即可。

时间复杂度为O(n*m+T)。 但常数很大（本地均为0.3s左右）。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #define M 2000
 using namespace std;
 int p[]={,,,,,,,};
 struct cg{
     int a[];
     cg(){memset(a,,sizeof(a));}
     cg(int x){
         for(int i=;i<;i++)
         while(x%p[i]==) a[i]++,x/=p[i];
     }
     friend cg operator *(cg a,int x){
         for(int i=;i<;i++)
         while(x%p[i]==) a.a[i]++,x/=p[i];
         return a;
     }
     friend cg operator /(cg a,int x){
         for(int i=;i<;i++)
         while(x%p[i]==) a.a[i]--,x/=p[i];
         return a;
     }
     friend bool operator +(cg a,int x){
         cg c=a;
         for(int i=;i<;i++)
         while(x%p[i]==){
             c.a[i]--;x/=p[i];
             if(c.a[i]<) return ;
         }
         return ;
     }
 }a[M+][M+];
 int b[M+][M+]={},k;

 void init(){
     for(int i=;i<=M;i++){
         int zhi=i>>;
         for(int j=;j<=zhi;j++)
         a[i][j]=a[i][i-j]=a[i][j-]*(i-j+)/j;
     }
     for(int i=;i<=M;i++){
         int zhi=i>>;
         for(int j=;j<=zhi;j++){
             b[i][j]=b[i][i-j]=a[i][j]+k;
         }
     }
     for(int i=;i<=M;i++)
     for(int j=;j<=M;j++){
         b[i][j]=b[i-][j]+b[i][j-]-b[i-][j-]+b[i][j];
     }
 }

 int main(){
     freopen("problem.in","r",stdin);
     freopen("problem.out","w",stdout);
     int cas; cin>>cas>>k;
     init();
     while(cas--){
         int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
         printf("%d\n",b[x][y]);
     }
 }