Lengauer-Tarjan算法的相关证明

Lengauer-Tarjan算法的相关证明

0. 约定

为简单起见，下文中的路径均指简单路径（事实上非简单路径不会对结论造成影响）。

\(V\)代表图的点集，\(E\)代表图的边集，\(T\)代表图的DFS树。
\(a \to b\)代表从点\(a\)直接经过一条边到达点\(b\)（即\((a, b) \in T\)），
\(a \leadsto b\)代表从点\(a\)经过某条路径到达点\(b\)，
\(a \dot \to b\)代表从点\(a\)经过\(T\)的树边到达点\(b\)（在\(T\)上\(a\)是\(b\)的祖先），
\(a \overset{+} \to b\)代表\(a \dot \to b\)且\(a \ne b\)。
这4种符号也同时表示路径。

1. 基本介绍 支配树(Dominator Tree)

\(G = (V, E, r)\)为点集为\(V\)，边集为\(E\)，起点为\(r\)的流程图。如果一个从\(r\)到\(w\)的所有路径都经过\(v\)，那么称\(v\)支配\(w\)，\(v\)是\(w\)的支配点。如果\(v\)是\(w\)的支配点，且\(w\)的其他所有支配点均支配\(v\)，那么称\(v\)是\(w\)的直接支配节点(immediate dominator)，记作\(idom(w) = v\)。

定理1. 图\(G\)中除点\(r\)外其他所有点都有唯一的直接支配节点。点集\(V\)和边集\(\{ (idom(w), w) | w \in V - \{r\} \}\)组成了一棵以点\(r\)为根的有向树，称为图\(G\)的支配树(Dominator Tree)。点\(v\)支配点\(w\)当且仅当在支配树上点\(v\)是点\(w\)的祖先。

2. 支配树相关性质

首先，我们从起点\(r\)对图\(G\)进行DFS，得到了一棵DFS树\(T\)。原图\(G\)中的边\((u, v)\)就分为了树边\(( (u, v) \in T)\)和非树边\(( (u, v) \notin T)\)。非树边还可以分为前向边（\(u\)是\(v\)的祖先），后向边（\(u\)是\(v\)的后代），横叉边（\(u, v\)非祖先后代关系）。

我们通过DFS序比较两个点的大小关系。那么前向边\((u, v)\)满足\(u < v\)，后向边\((u, v)\)满足\(u > v\)，横叉边\((u, v)\)满足\(u > v\)。

接下来给出一些有关支配树算法的重要引理。

引理1.（路径引理） 如果图\(G\)的两个点\(v, w\)满足\(v \le w\)，那么点\(v\)到点\(w\)任意路径一定经过点\(v\)和点\(w\)的某个在树\(T\)上的公共祖先（至少一个）

证明： 如果\(v\)是\(w\)的祖先，结论显然成立（必然经过点\(v\)）。否则\(v, w\)非祖先后代关系，令\(p\)为\(LCA(u, v)\)，显然\(p \ne v \ and \ p \ne w\)。删掉从起点\(r\)到\(p\)的路径上的所有点（这些点是\(v, w\)的公共祖先），那么\(v\)和\(w\)在以\(p\)为根两棵子树内，并且因为公共祖先被删去，无法通过后向边到达子树外面，前向边也无法跨越子树，而横叉边只能从大到小（\(v\)所在子树内的点均大于\(w\)所在子树内的点），所以从\(v\)出发不能离开这颗子树到达w。所以如果本来\(v\)能够到达\(w\)，就说明这些路径必须经过\(v, w\)的公共祖先。

一个小推论： 如果图\(G\)的两个点\(v, w\)满足\(v \lt w\)，那么点\(v\)到点\(w\)任意路径一定经过点\(w\)的某个在树\(T\)上的真祖先（至少一个）。

对于图\(G\)中的点\(w\)（\(w \ne r\)），定义它的半支配点(semi-dominator)\(sdom(w) = \min \{ v | \exists (v_0, v_1, \cdots, v_{k - 1}, v_k), v_0 = v, v_k = w, \forall 1 \leq i \leq k - 1, v_i \gt w \} \tag{1}\)

半支配点有很多性质，使得它们的计算成为支配点计算中的一个方便的中间步骤。对于任意点\(w\)（\(w \neq r\)），\(sdom(w)\)是\(w\)在树\(T\)上的真祖先，\(idom(w)\)是\(sdom(w)\)在树\(T\)上的祖先。如果把图\(G\)中的树边边集替换为边集\(\{ (sdom(w), w) | w \in V \ and \ w \neq r \}\)，在新图\(G'\)中的所有点的支配点并不会改变。因此如果我们知道了DFS树和半支配点，我们可以计算出支配点。

以下将证明半支配点的这些性质。接下来的引理给出了DFS树，半支配点和支配点之间一般关系。

引理2. 对于任意点\(w\)（\(w \ne r\)），有\(idom(w) \overset{+}{\to} w\)。

证明： 显然，如果不是这样的话就可以直接通过树边不经过\(idom(w)\)就到达\(w\)了，与\(idom\)定义矛盾。

引理3. 对于任意点\(w\)（\(w \ne r\)），有\(sdom(w) \overset{+}{\to} w\)。

证明： 对于\(w\)在树\(T\)上的父亲\(fa_w\)，\(fa_w \to w\)这条路径只有两个点，所以满足\(sdom\)定义中的条件，于是它是\(sdom(w)\)的一个候选，所以\(sdom(w) \le fa_w\)，就有\(sdom(w) \lt w\)。根据引理1（路径引理）可以证明\(sdom(w)\)不可能在另一棵子树，因为如果是那样的话就至少会经过\(w\)的一个真祖先，\(w\)的真祖先小于\(w\)，与\(sdom(w)\)的定义矛盾，于是\(sdom(w)\)就是\(w\)的真祖先。

引理4. 对于任意点\(w\)（\(w \ne r\)），有\(idom(w) \dot \to sdom(w)\)。

证明： 如果不是这样的话，按照\(sdom\)的定义，就会有一条路径是\(r \dot \to sdom(w) \leadsto w\)不经过\(idom(w)\)了，与\(idom\)的定义矛盾。

引理5. 对于满足\(v \dot \to w\)的点\(v, w\)，有\(v \dot \to idom(w)\)或\(idom(w) \dot \to idom(v)\)。

证明： 如果\(v = w\)显然成立。否则，如果不是这样的话，就是\(idom(v) \overset{+}{\to} idom(w) \overset{+}{\to} v \overset{+}{\to} w\)，那么存在路径\(r \dot \to idom(v) \leadsto v \overset{+}{\to}w\)不经过\(idom(w)\)到达了\(w\)（因为\(idom(w)\)是\(idom(v)\)的真后代，一定不支配\(v\)，所以存在绕过\(idom(w)\)到达\(v\)的路径），与\(idom\)的定义矛盾。

通过引理1-5，我们获得了能提供从半支配点计算支配点的方法的两个结论。

定理2. 对于任意点\(w\)（\(w \ne r\)），如果所有满足\(sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w\)的\(u\)也满足\(sdom(u) \ge sdom(w)\)，即\(sdom(w) \dot \to sdom(u) \overset{+}{\to} u \dot \to w\)，那么\(idom(w) = sdom(w)\)。

证明： 由引理4知道\(idom(w) \dot \to sdom(w)\)，所以只需要证明\(sdom(w)\)支配\(w\)就可以证明此定理。对于\(r\)到\(w\)的任意一条路径\(p\)，令\(x\)为路径\(p\)上最后一个满足\(x \lt sdom(w)\)的点。如果\(x\)不存在，那么\(sdom(w) = r\)支配\(w\)，得证。否则令\(y\)为路径\(p\)上\(x\)之后的满足\(sdom(w) \dot \to y \dot \to w\)的最小的点。令\(q = (x = v_0, v_l, v_2, \dots , v_k = y)\)为路径\(p\)上\(x\)到\(y\)的部分。我们可以断言\(v_i \gt y, \forall 1 \le i \le k - 1\)。假设它不成立，即\(\exists v_i \lt y, 1 \le i \le k - 1\)。通过引理1可得存在\(v_j(i \le j \le k - 1)\)是\(y\)的真祖先。由\(x\)的定义可得\(v_j \ge sdom(w)\)，所以\(sdom(w) \dot \to v_j \overset{+}{\to} y \dot \to w\)，这与\(y\)的定义矛盾，所以此断言得证。
此断言使得路径\(q\)也是满足半支配点定义中的路径，并且由于\(x\)的定义，所以\(sdom(y) \le x \lt sdom(w)\)。因为所有满足\(sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w\)的\(u\)也满足\(sdom(u) \ge sdom(w)\)，而\(sdom(w) \dot \to y \dot \to w\)，所以\(y = sdom(w)\)，由此可得\(r\)到\(w\)的任意一条路径都经过\(sdom(w)\)，\(sdom(w)\)支配\(w\)，此定理得证。

定理3. 对于任意点\(w\)（\(w \ne r\)），令\(u\)为所有满足\(sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w\)的\(u\)中\(sdom(u)\)最小的一个，且\(sdom(u) \le sdom(w)\) ，即\(sdom(u) \dot \to sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w\)，那么\(idom(w) = idom(u)\)。

证明： 令\(z\)为满足\(sdom(w) \to z \dot \to w\)的点，有\(sdom(u) \le sdom(z) \le sdom(w)\)。
由引理5可得\(u \dot \to idom(w)\)或\(idom(w) \dot \to idom(u)成立\)。由引理4和命题条件可得\(idom(w) \dot \to sdom(w) \overset{+}{\to} u\)，所以前者不成立，那么后者一定成立。为了证明\(idom(w) = idom(u)\)，只需要证明\(idom(u)\)支配\(w\)。
对于\(r\)到\(w\)的任意一条路径\(p\)，令\(x\)为路径\(p\)上最后一个满足\(x \lt idom(u)\)的点。如果\(x\)不存在，那么\(idom(u) = r\)支配\(w\)，得证。否则令\(y\)为路径\(p\)上\(x\)之后的满足\(idom(u) \dot \to y \dot \to w\)的最小的点。令\(q = (x = v_0, v_l, v_2, \dots , v_k = y)\)为路径\(p\)上\(x\)到\(y\)的部分。类似定理2中这部分的证明，\(x\)和\(y\)的定义说明\(v_i \gt y(1 \le i \le k - 1)\)，因此\(sdom(y) \le x\)。由于由引理4得到的\(idom(u) \dot \to sdom(u)\)，有\(sdom(y) \le x \lt idom(u) \le sdom(u)\)。
由于\(u\)是树\(T\)上从\(z\)到\(w\)的路径上的点中半支配点最小的点，所以\(y\)一定不是\(sdom(w)\)的真后代。此外，\(y\)一定不是\(idom(u)\)的真后代和\(u\)的祖先，否则就存在一条由\(r \dot \to sdom(y)\)，\(sdom(y) = v_0, v_1, \dots , v_k = y(v_i \lt y, \forall 1 \le i \le k - 1)\)和\(y \dot \to u\)组成的路径没有经过\(idom(u)\)，这与\(idom\)的定义矛盾。
由于\(idom(u) \dot \to y \dot \to w\)，所以只有可能\(y = idom(u)\)。由此可得\(r\)到\(w\)的任意一条路径都经过\(idom(u)\)，\(idom(u)\)支配\(w\)，此定理得证。

推论1. 对于任意点\(w\)（\(w \neq r\)），令点\(u\)为所有满足\(sdom(w) \overset{+}{\to} u \dot \to w\)的点\(u\)中\(sdom(u)\)最小的一个，有
\(idom(w) = \left \{ \begin{aligned} & sdom(w) & (sdom(u) = sdom(w)) & \\ & idom(u) & (sdom(u) \lt sdom(w)) & \end{aligned} \right. \tag{2}\)

证明： 通过定理2和定理3可以直接得到。
因为\(w\)也是\(u\)的候选，所有一定有\(sdom(u) \le sdom(w)\)

接下来的定理提供了一种计算半支配点的方法。

定理4. 对于任意点\(w\)（\(w \ne r\)），有\(sdom(w) = min(\{v | (v, w) \in E , v \lt w \} \cup \{sdom(u) | u \gt w , \exists (v, w) \in E , u \dot \to v\} ) \tag{3}\)

证明： 令\(x\)为\((3)\)右边的值。我们先证明\(sdom(w) \le x\)。假设第一种情况：\(x\)是满足\(\exists (x, w) \in E, x \lt w\)。由\((1)\)所以\(sdom(w) \le x\)。另一种情况：\(x = sdom(u)\)，\(u\)是满足\(u \gt w \ and \ \exists (v, w) \in E \ and \ u \dot \to v\)的点。由\((1)\)存在一条路径\(x = v_0, v_1, \dots , v_j = u\)满足\(v_i \gt u \gt w, \forall 1 \le i \le j - 1\)。树\(T\)上的路径\(u = v_j \to v_{j + 1} \to \dots \to v_{k - 1} = v\)满足\(v_i \ge u \gt w, \forall j \le i \le k - 1\)。因此路径\(x = v_0, v_1, \dots , v_{k - 1} = v, v_k = w\)满足\(v_i \gt w, \forall 1 \le i \le k - 1\)。由\((1)\)所以\(sdom(w) \le x\)。
接下来证明\(sdom(w) \ge x\)。\(sdom(w) = v_0, v_1, \dots , v_k = w\)为一条满足\(v_i \gt w, \forall 1 \le i \le k - 1\)的路径。当\(k = 1\)时，\((sdom(w), w) \in E\)，由引理3可得\(sdom(w) \lt w\)。因此\(sdom(w) \ge x\)。另一种情况当\(k \gt 1\)时，令\(j\)为最小的满足\(1 \le j \le k - 1 \ and \ v_j \dot \to v_{k - 1}\)。这样的\(j\)存在因为\(k - 1\)是\(j\)的候选。
我们断言\(v_i \gt v_j, \forall 1 \le i \le j - 1\)。假设它不成立，即\(\exists v_i \lt v_j(1 \le i \le j - 1)\)。选择满足\(v_i \lt v_j(1 \le i \le j - 1)\)并且\(v_i\)最小的\(i\)。由引理1（路径引理）可得\(v_i \overset{+}{\to} v_j\)，与\(j\)的定义矛盾。此断言得证。
这个断言说明了\(sdom(w) \ge sdom(v_j) \ge x\)。因此当\(k \ge 1\)时\(sdom(w) \ge x\)，所以\(x = sdom(w)\)，此定理得证。

来源

Lengauer T, Tarjan R E. A fast algorithm for finding dominators in a flowgraph[M]. ACM, 1979.