洛谷 P1731 [NOI1999]生日蛋糕(搜索剪枝)

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1731

解题思路

既然看不出什么特殊的算法，显然是搜索。。。

dfs(u,v,s,r0,h0)分别表示：

u为已经搜完的层数,v是现在的体积(不包括这一层),s是现在的表面积(所求的)(不包括这一层),r0是当前层的最大半径，h0是当前层的最大高度。

不加剪枝的dfs。。。(TLE!!!!)

本题的难点

剪枝

• 剪枝1：搜索到每一层时，如果当前的体积加上剩下层(包含当前层)的最小体积还是大于要求的总体积时，必须return，因为不论如何体积总不能符合要求。
• 剪枝2：搜索到每一层时，如果当前表面积加上剩下层(包含当前层)的最小表面积还是大于已经求出来的答案时，return，因为此答案一定不是最优解。
• 剪枝3：首先剪掉的是每一层的半径r和高h的范围。因为Ri​>Ri+1​且Hi>Hi+1​，也就是说，较上层的半径和高一定比下层的小，所以很显然，每一层的半径高度小于上一层的半径和高度并且大于等于m-u（m为总层数，u为搜索完的层数，m-u就是剩下的层数(包括这一层) ）。

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下面就是要探讨如何进行这三个剪枝：

求剩下层(设为k)的最小体积时，采用递推的方法，由剩下的k-1层的最小体积加上本层的最小体积（i*i*i）。我们用va[i]表示从上往下数前i层的最小体积和，但要注意并不是前i层的最小体积和，因为本题规定的是从下往上数层数。所以实际用时要用v+va[m-u]。

经过一步步的写(kan)证(ti)明(jie)，以下的内容显然成立：剩下层(包含当前层)的最小表面积就小于等于2*(n-v)/r。其中n是总体积，v是现在的体积（不包含当前层），r是当前层的最大半径。为什么是小于等于呢？因为为了保证剪枝的正确性，即使少剪几个，也不能把正确的答案剪去。

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总结：剪枝要用最好的打算去进行启发式剪枝。即为了保证剪枝的正确性，即使少剪几个，也不能把正确的答案剪去。

剩下的就是细节处理了，例如在dfs函数中枚举的r和h的值，为什么要倒序呢？因为很显然，在体积一定的情况下，半径越大，侧表面积就越小，能在剪枝2中，剪去更多的枝。（多读几遍，感性理解一下）。

看代码（详细注解）：

 #include<iostream>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 const int INF=0x3f3f3f;//一个很大的数
 int n,m;
 int va[];//va[i]表示从上往下数前i个数的最小体积和。(并不是第i层)
 int ans;
 void dfs(int u,int v,int s,int r0,int h0){
         //u为已经搜完的层数,v是现在的体积,s是现在的表面积(所求的)
         //r0是当前层的最大半径，h0是当前层的最大高度。
     if(u==m){            //如果已经搜完
         if(v==n){        //如果找到答案,更新ans的值
             ans=min(ans,s);//取最小值
         }
         return;            //无论是不是答案，都要return
     }
     if(va[m-u]+v>n) return;
     //剪枝1：如果当前的体积加上剩下层(包含当前层)的最小体积还是大于要求的总体积时，必须return，因为不论如何体积总不能符合要求。
     if(2.0*(n-v)/r0+s>ans) return;
     //剪枝2：如果当前表面积加上剩下层(包含当前层)的最小表面积还是大于已经求出来的答案时，return，因为此答案一定不是最优解。
     for(int r=r0;r>=m-u;r--){    //从最大值倒着循环速度会快些
         for(int h=h0;h>=m-u;h--){
     //剪枝3：缩小每一层的体积和高的范围：从r0、h0到m-u。
             int tv=v+r*r*h;        //tv是现在的体积，就等于原来的体积加上这一层的体积
             if(tv>n) continue;    //边界
             int ts=s+*r*h;        //ts为现在的表面积，等于原来的表面积加上这一层的侧表面积
             if(u==) ts+=r*r;    //如果是底层，还要再加上上表面积
             dfs(u+,tv,ts,r-,h-);
             //继续递归下去：层数+1,现在的体积,现在的表面积,下一层的最大体积和表面积
         }
     }
 }
 int main()
 {
 cin>>n>>m;
 for(int i=;i<=m;i++){
     va[i]=va[i-]+i*i*i;//i*i*i是每一层的最小体积
 }
 int r0=sqrt(n)+0.5;//r0是最大的半径
 ans=INF;//先给ans赋初值
 dfs(,,,r0,n);
 if(ans==INF) ans=;//无答案输出0
 cout<<ans<<endl;
 return ;
 }

//NOI1999 Day1 t3