SCP-bzoj-3309

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**项目编号：bzoj-3309**

项目等级：Safe

项目描述：

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特殊收容措施：

以下用$(x, y)$表示$gcd(x, y)$。

$$
ans = \sum _ {i = 1} ^ {a}
\sum _ {j = 1} ^ {b}
f((i, j))
= \sum _ {g = 1} ^ {min(a, b)} f(g)
\sum _ {i = 1} ^ {\lfloor {\frac a g} \rfloor}
\sum _ {j = 1} ^ {\lfloor {\frac b g} \rfloor}
\epsilon((i, j))
$$

又有$\epsilon = \mu * 1$，故

$$
ans = \sum _ {g = 1} ^ {min(a, b)} f(g)
\sum _ {i = 1} ^ {\lfloor {\frac a g} \rfloor}
\sum _ {j = 1} ^ {\lfloor {\frac b g} \rfloor}
\sum _ {d | i, d | j} \mu(d)
= \sum _ {g = 1} ^ {min(a, b)} f(g)
\sum _ {d = 1} ^ {min(\lfloor {\frac a g} \rfloor, \lfloor {\frac b g} \rfloor)}
\mu(d) \lfloor {\frac a {d g}} \rfloor \lfloor {\frac b {d g}} \rfloor
$$

设$T = d g$，则

$$
ans = \sum _ {T = 1} ^ {min(a, b)}
\lfloor {\frac a T} \rfloor \lfloor {\frac b T} \rfloor
\sum _ {g | T} f(g) \mu(\frac T g)
$$

设$g(T) = \sum _ {d | T} f(d) \mu(\frac T d) = \sum _ {d | T} f(\frac T d) \mu(d)$。

可证明$h(T) = \lfloor {\frac a T} \rfloor \lfloor {\frac b T} \rfloor$的取值只有$\sqrt[]{min(a,b)}$段。

这样对于$h(T)$取值相同的$T$，其总贡献为$h(T) \sum g(T)$，于是只需要线性筛出$g$函数计算前缀和即可。

以下考虑$g(T)$的性质。

因为当且仅当$p ^ 2 \not| d$即$\mu(d) \not= 0$时，$f(\frac T d)$对$g(T)$有贡献。

设$T = \prod _ ^ p _ i ^ , r = max {q _ i}$，
集合$A = {q _ i = r}, B = \complement _ ^ $。

若${\exists}i < j$使得$q _ i \not= q _ j$时：

一旦确定了$A$中d的质因数选取方案，$f(\frac T d)$也随即确定。

此时所有集合$B$中d的质因数选取方案$\sum \mu(d)=0$，故此情况对$g(T)$贡献为0。

$\forall i, j$使得$q _ i = q _ j$时：

当且仅当$d = \prod _ ^ p _ i$时，\(f(d) = r\)，否则$f(d) = r - 1$。

故$g(T) = (r \sum \mu(d)) + (-1) ^ {k + 1}$。

又$\sum \mu(d)=0$，故$g(T) = (-1) ^ {k + 1}$。

由此，可根据以上性质筛出g。

附录：

#include <bits/stdc++.h>
#define range(i,c,o) for(register int i=(c);i<(o);++i)
using namespace std;

// QUICK_IO BEGIN HERE
#ifdef __WIN32
	#define getC getchar
	#define putLL(x,c) printf("%I64d%c",x,c)
#else
	#define getC getchar_unlocked
	#define putLL(x,c) printf("%lld%c",x,c)
#endif

inline unsigned getU()
{
	char c; unsigned r=0;
	while(!isdigit(c=getC()));
	for(;isdigit(c);c=getC())
	{
		r=(r<<3)+(r<<1)+c-'0';
	}
	return r;
}
// QUICK_IO END HERE

static const int MAXN=10000000;
bool flag[MAXN+5]; int pr[MAXN>>2];
int las[MAXN+5]; // for x=y*cur_p^cur_q, las[x]=y
int cnt[MAXN+5]; // for x=y*cur_p^cur_q, cnt[x]=cur_q
int g[MAXN+5]; // g(x)=sigma(f(d)*mu(x/d),d|x)

inline long long solve(const int&x,const int&y)
{
	long long ret=0;
	for(int i=1,j;i<=min(x,y);i=j+1)
	{
		j=min(x/(x/i),y/(y/i));
		ret+=1LL*(g[j]-g[i-1])*(x/i)*(y/i);
	}
	return ret;
}

int main()
{
	int tot=0;
	range(i,2,MAXN+1)
	{
		if(!flag[i]) pr[tot++]=i,las[i]=cnt[i]=g[i]=1;
		range(j,0,tot)
		{
			int x=i*pr[j];
			if(x>MAXN) break;
			flag[x]=1;
			if(i%pr[j]==0)
			{
				las[x]=las[i],cnt[x]=cnt[i]+1,
				g[x]=(las[x]==1?1:-g[las[x]]*(cnt[las[x]]==cnt[x]));
				break;
			}
			las[x]=i,cnt[x]=1,g[x]=-g[i]*(cnt[i]==1);
		}
	}
	range(i,1,MAXN+1) g[i]+=g[i-1];
	for(int T=getU();T--;)
	{
		int x=getU(),y=getU(); putLL(solve(x,y),'\n');
	}
	return 0;
}