【图论 思维】cf715B. Complete The Graph加强

zzq讲的杂题

题目大意

有一张$n​$个点$m​$条边的简单正权无向图，$S​$到$T​$的最短路为$L​$，现在有一些边的边权未知，请输出任意一种满足题意的方案。

$n,m\le 500000​$.

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题目分析

首先对于每一条边权未定的边，把它的边权设为1，处理出$dist_i​$表示在这种情况下，$T​$到$i​$的最短路距离。之后再从$S​$开始做dij，设$S​$到$u​$的最短路为$len_i​$，那么当前若以$u​$为起点增广一条边权未定的边$(u,v)​$，就将其边权设为$\max\{1,L-len_u-dist_v\}​$。最后若$T$的最短路不为$L$则无解。

关于第二次重设边权，如上处理之后在有解情况下显然第二次dij出的$len_i \le L$，那么剩下的就是考虑：可不可能把一条$L$的最短路给刷得更小了。

分步地看这个问题，我们最后一次进行重设边权操作时，等于说是钦定了一条过这个边的长度为$L$的路径（因为$len_i$是依靠重新设的边权做的最短路），也就是说一定是满足条件的最短路。反之如果这个做法无解，说明任意的未定边权的边都不在长为$L$的最短路上，那么也就没有任何影响。

注意如果（像我一样偷懒不刷完全图）那么需要判一判未经过的边。

时间复杂度：$O(n\log n)$

 #include<bits/stdc++.h>
 typedef long long ll;
 const int maxn = ;
 const int maxm = ;
 const ll INF = 1000000000000000000ll;

 struct Edge
 {
     int v;
     ll val;
     Edge(int a=, int b=):v(a),val(b) {}
 }edges[maxm];
 struct node
 {
     int x;
     ll d;
     node(int a=, ll b=):x(a),d(b) {}
     bool operator < (node a) const
     {
         return d > a.d;
     }
 };
 int n,m,L,S,T;
 int edgeTot,head[maxn],nxt[maxm];
 ll dis[maxn],len[maxn];
 int dfn[maxn],tim;
 std::priority_queue<node> q;

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = , fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch=getchar())
         if (ch=='-') fl = -;
     for (; isdigit(ch); ch=getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     return num*fl;
 }
 void addedge()
 {
     int u = read()+, v = read()+, c = read();
     edges[edgeTot] = Edge(v, c), nxt[edgeTot] = head[u], head[u] = edgeTot, ++edgeTot;
     edges[edgeTot] = Edge(u, c), nxt[edgeTot] = head[v], head[v] = edgeTot, ++edgeTot;
 }
 int main()
 {
     memset(head, -, sizeof head);
     n = read(), m = read(), L = read(), S = read()+, T = read()+;
     for (int i=; i<=m; i++) addedge();
     memset(dis, 0x3f3f3f3f, sizeof dis);
     tim = , q.push(node(T, )), dis[T] = ;
     for (int tmp; q.size(); )
     {
         tmp = q.top().x, q.pop();
         if (dfn[tmp]==tim) continue;
         dfn[tmp] = tim;
         for (int i=head[tmp]; i!=-; i=nxt[i])
         {
             int v = edges[i].v, c = edges[i].val?edges[i].val:;
             if (dis[v] > dis[tmp]+c) dis[v] = dis[tmp]+c, q.push(node(v, dis[v]));
         }
     }
     memset(len, 0x3f3f3f3f, sizeof len);
     tim = , q.push(node(S, )), len[S] = ;
     for (int tmp; q.size(); )
     {
         tmp = q.top().x, q.pop();
         if (dfn[tmp]==tim) continue;
         dfn[tmp] = tim;
         if (tmp==T){
             if (len[T]!=L) puts("NO");
             else{
                 puts("YES");
                 for (int i=; i<=n; i++)
                     for (int j=head[i]; j!=-; j=nxt[j])
                         if (edges[j].v > i) printf("%d %d %lld\n",i-,edges[j].v-,edges[j].val?edges[j].val:INF);
             }
             return ;
         }
         for (int i=head[tmp]; i!=-; i=nxt[i])
         {
             if (!edges[i].val){
                 edges[i].val = edges[i^].val = std::max(L-len[tmp]-dis[edges[i].v], 1ll);
             }
             int v = edges[i].v, c = edges[i].val;
             if (len[v] > len[tmp]+c) len[v] = len[tmp]+c, q.push(node(v, len[v]));
         }
     }
     puts("NO");
     return ;
 }

END