帝都Day6——图论

//P₂O₅呢？

一、图的存储：

邻接矩阵；邻接表。

邻接矩阵：n*n的[][]，[i][j]节点有边记1没边0 缺点 空间复杂度O(n^2) 占用内存较大（我为什么要把这些东西写到这里呢？？？）

邻接表：把每一个点能直接到达的点存储成链表（反正是一个很奇怪的东西，弄懂了会写了会用了就行）单向边(为啥不叫有向边)和双向边(为啥不叫无向边)的区别是无向边反着存一遍再

const int N=1005;
const int M=10050;
int point[N],to[M],next[M],cc;

void AddEdge(int x,int y)
{
    cc++;
    to[cc]=y;
    next[cc]=point[x];
    point[x]=cc;
}
void find(int x)
{
    int now=point[x];
    while(now)
    {
        printf("%d\n",now);
        now=next[now];
    }
}
int main()
{

}

图的遍历(?)(?)(?)——dfs，bfs

然后是最小生成树(MST问题)

铺锐母+客路思卡尔

客路思卡尔：

const int N=1050;
const int M=10050;
struct Edge
{
    int a,b,c;
}edge[M];
int fa[N];//冰炸鸡
int n,m;
int ans=0;
int getf(int x)
{
    if(fa[x]!=x)
        fa[x] = getf(fa[x]);
    return fa[x];
}
bool cmp(Edge x,Edge y)
{
    return x.c<y.c;
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&edge[i].a,&edge[i].b,&edge[i].c);
    sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
    for(i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        int a=edge[i].a;
        int b=edge[i].b;
        a=getf(a);
        b=getf(b);
        if(a!=b)
        {
            ans+=edge[i].c;
            f[a]=b;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}

然后是普利姆算法

首先染黑一个点。找一条边权最小的连接白点和黑点的点，把这个边连接的白点变为黑点，这条边加入MST。重复上述过程直到所有点都被染黑。所得的所有边和点就是MST。（woc我竟然写了段文字）代码：

(待更)

迟来的problems

vijos1190：繁忙的都市

这道题是最小瓶颈生成树，它的最大边权就是kruskal做出来最大边权(最后一个边权)，所以直接用kruskal做就行了

bzoj1016：最小生成树计数

用kruskal，如果有边权一样的边，选哪条都试一试

最短路

福裸衣的，低阶死特辣，SPFA

Floyd-Warshall算法

SPFA(笔记被我吃了！)

Dijkstra(O（n^2）)

Bellman-Ford O(n*m)一般不用。

problems(忽略s)

vijos1754

然后是：拓扑排序

代码：

(待更)

problems:

构造排列

构造一个1~n的排列，有m个限制，每个限制是：a要在b前面

要求字典序最小

n,m<=10^5

problemⅡ

构造一个1~n的排列，有m个限制，每个限制是：a要在b前面

要求1尽可能靠前，若仍有多解，要求2尽可能靠前，若仍有多解，要求3尽可能靠前(什么鬼续靠前)

lydsy4010(bzoj4010)

从后往前做，每次从所有可选的点中选出一个最大的。woc太巧妙了！！！！

代码迟早会更新的

（嗯，这里元素路径还是p）

afternoon-------------

强连通分量

在有向图中，如果a能到b,b能到a，就称ab强连通。

强连通图：有向图中每一对点都强连通，这个图就是强连通图。

强连通分量：有向图的极大联通子图，就是强连通分量。

任何一个有向图，都可以划分成若干个强连通分量，并且这些强连通分量没有交集。

重点来了！tarjan求 强连通分量

对图进行dfs，我们定义一个dfn[i] dfn[i]表示第i个节点是第几个被dfs到的

酱紫，我们每个节点都有个编号了

然后：low[i]表示他能到达的dfn最小的点的编号

在写tarjan的时候，我们要开一个栈

[tarjan code]

缩点：把一个图的每一个强连通分量变成一个点，变成DAG

有向无环图（DAG）拓扑排序只有在DAG上才有方案。

DP的状态之间关系如果用有向图来表示就是有向无环图，所以可以记忆化搜索！！

(难道所有DP都可以记忆化收索？？？)

强连通分量的作用，就是缩点，变成有向无环图，woc厉害了

victoria的舞会3 vijos1023

把“能通知到”关系抽象成有向图，然后缩点，求所有入度为0的点

tarjan+新图去重

[代码]

problems:

bzoj1051

建图，缩点，设t是出度为0的点的数量(t>0)

当t>1时，ans=0，因为那两个出度为0的点不能相互到达。

当t=1是，ans=那个出度为0的点对应的缩点前的点的数量。所有的点都能到那个点，也就是那个强连通分量里的所有的点都能被所有点到达。(这题还是比较H2O的)

Car的旅行路线 vijos1119(笔记被吃了)

联合权值 vjijos1906

30分、60分略，AC：枚举每一个点，枚举中间点。

寻找道路 vijos 1909

1.求哪些点与终点联通

2.求哪些点指向的点都与终点联通

3.在第二部满足条件的点上bfs最短路（因为权值1）

货车运输 vijos1843

最大生成树，只在最大生成树上找(kruskal反着排)

证明：只用最大生成树是足够的

设A,B,C三点之间互相有边连接，AB、AC在最大生成树中。设AC>AB或BC，那么AC应该在最大生成树中。所以AC<=AB和BC

华容道 vijos1846

程序思路先把空格子移动到要移动的格子(一下简称绿格子)旁边，然后(被吞了)(什么题目，这么难)

然后是一个树上倍增(被吞了)

欧拉路径：给出来一个图，把这个图的路径走一个遍。起点终点是同一个点：欧拉回路

蛤密顿路：把这个图的点走个遍。蛤密顿回路同欧拉回路

然后一个很奇怪的题，我又吞啦！

完。