poj2104（划分树模板）

poj2104

题意

给出一个序列，每次查询一个区间，要求告诉这个区间排序后的第k个数。

分析

划分树模板，O(mlogn)。

1. 建树。根据排序之后的数组，对于一个区间，找到中点的数，将整个区间分为左右子树（在子区间内数与数的相对位置保持不变），递归向下分割。
2. 查询。toleft[p][i] 表示第 p 层前 i 个数中有多少个整数分入下一层。查询最重要的是确定新的查询区间，若递归查询左区间，则新的子区间的左边一定是上一层区间 [L, l - 1] 里的 toleft[dep][l-1] - toleft[dep][L-1] 个整数，那么 newl = L + toleft[dep][l-1] - toleft[dep][L-1]，[l, r] 区间内有cnt = toleft[dep][r] - toleft[dep][l - 1] 个数，所以 newr = newl + cnt - 1；查询右区间则要先确定 newr 的值，[r+1, R] 中有 c = toleft[dep][R] - toleft[dep][r] 个整数位于左子区间的右方，所以查询区间 r 要向右移 c 个数，newr = r + c，newl = newr - (r - l - cnt)。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 1e9;
const int MAXN = 1e5 + 5;
const int LOG_N = 30;
// tree[dep][i] 第dep层第i个位置的数值
int tree[LOG_N][MAXN];
int sorted[MAXN];
// toleft[p][i] 第p层前i个数中有多少个整数分入下一层
int toleft[LOG_N][MAXN];

void build(int l, int r, int dep)
{
    if(l == r) return;
    int mid = (l + r) / 2;
    int same = mid - l + 1; // 和中点数相同的数的个数
    for(int i = l; i <= r; i++)
        if(tree[dep][i] < sorted[mid]) same--;
    int lpos = l, rpos = mid + 1;
    for(int i = l; i <= r; i++)
    {
        if(tree[dep][i] < sorted[mid])
            tree[dep + 1][lpos++] = tree[dep][i];
        else if(tree[dep][i] == sorted[mid] && same)
        {
            tree[dep + 1][lpos++] = tree[dep][i];
            same--;
        }
        else tree[dep + 1][rpos++] = tree[dep][i];
        toleft[dep][i] = toleft[dep][l - 1] + lpos - l;
    }
    build(l, mid, dep + 1);
    build(mid + 1, r, dep + 1);
}
// [L,R]里查询子区间[l,r]第k小的数
int query(int L, int R, int l, int r, int dep, int k)
{
    if(l == r) return tree[dep][l];
    int mid = (L + R) / 2;
    // 有多少个查询区间内的节点会进入下一层的左子树
    int cnt = toleft[dep][r] - toleft[dep][l - 1];
    if(cnt >= k)
    {
        int newl = L + toleft[dep][l - 1] - toleft[dep][L - 1];
        int newr = newl + cnt - 1;
        return query(L, mid, newl, newr, dep + 1, k);
    }
    else
    {
        int newr = r + toleft[dep][R] - toleft[dep][r];
        int newl = newr - (r - l - cnt);
        return query(mid + 1, R, newl, newr, dep + 1, k - cnt);
    }
}
int main()
{
    int n, m;
    while(~scanf("%d%d", &n, &m))
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d", &sorted[i]);
            tree[0][i] = sorted[i];
        }
        sort(sorted + 1, sorted + n + 1);
        build(1, n, 0);
        while(m--)
        {
            int l, r, k;
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
            printf("%d\n", query(1, n, l, r, 0, k));
        }
    }
    return 0;
}