uoj#80 二分图最大权匹配

题意：给定二分图，有边权，求最大边权匹配。边权非负。

解：KM算法求解最大权完备匹配。

完备匹配就是点数少的那一边每个点都有匹配。

为了让完备匹配与最大权匹配等价，我们添加若干条0边使之成为完全二分图(自造名词别在意......)

为了让左边成为点数较少的一边，我们还要添加一些虚点，m = max(n,m)

然后求解完备匹配。

KM的DFS写法会被卡成n⁴，如果你不在意可以写......反正在uoj上会被卡爆。

模板就不放了，反正没啥用，放了还我 误 我 自 己。

过程就是一次为每个点寻找匹配。首先每个点都有个顶标(期望匹配值)，最后要使得每一条匹配边(x, y)满足w[x] + w[y] = val(x, y)

然后每个右边的点还有个need数组，一般是叫做slack，就是松弛量，也就是当前这个点最少要把w减去多少才能匹配上。

还有个D是min slack，也就是全局最少减少D才能得到匹配。

匹配的时候跟匈牙利一样DFS，注意到一个点之后如果w[x] + w[y] = val(x, y)则这条边可用，打上vis，否则用差值更新need y

如果没有匹配就update一遍，每个有vis的左边减去D，右边加上D。然后继续直到有匹配为止。

BFS写法

这个我不太懂...话说DFS本来就不懂了，还纠结这个干啥。

右边节点有个pre数组表示它是谁更新来的，也就是如果它进入增广路，那么它前面的右边节点是pre

在BFS函数里首先设置BFS起点是右边0匹配左边x，然后尝试为x找到增广路。

枚举每个未被vis的y，得到w[x] + w[y]与val(x, y)的差值。

用这个差值更新need[y]，如果差值比need[y]小，就表明y的前一个节点是mat[x]的话会更佳，令pre[y] = u(u表示正在匹配x的节点，也就是上一个x准备匹配的节点)

用need[y]更新D，如果need[y] < D则表明全局上下一个点选择y更优，令nex = y(此处nex是下一轮的u)

然后更新一遍，让所有vis的右边节点(当然也包括一开始我们虚拟跟x匹配的右边0号点)w += D，而与之匹配的左边节点w -= D

结束条件是找到的这个u没有匹配。此时增广路就找到了。

然后把交错路取反，也就是每个u的匹配变成上一个u的匹配，直到倒数第二个u匹配x。

啊我到底在口胡些什么

 //thanks to yyb
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>

 typedef long long LL;
 const int N = ;
 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

 int vis[N * ], mat[N * ], Time, pre[N * ], n, m;
 LL val[N][N], w[N * ], need[N * ];

 void BFS(int x) {
     memset(need, 0x3f, sizeof(need));
     memset(pre, , sizeof(pre));
     int u = , nex;
     mat[u] = x;
     do {
         x = mat[u];
         LL D = INF;
         vis[u] = Time;
         for(int y = n + ; y <= n + m; y++) {
             if(vis[y] == Time) {
                 continue;
             }
             LL t = w[x] + w[y] - val[x][y - n];
             if(t < need[y]) { // update need pre
                 need[y] = t;
                 pre[y] = u;
             }
             if(need[y] < D) { // update D nex
                 D = need[y];
                 nex = y;
             }
         }
         // update
         w[mat[]] -= D; // do not forget!
         w[] += D;
         for(int i = n + ; i <= n + m; i++) {
             if(vis[i] == Time) {
                 w[mat[i]] -= D;
                 w[i] += D;
             }
             else {
                 need[i] -= D;
             }
         }
         u = nex;
     } while(mat[u]);

     while(u) { // update path
         mat[u] = mat[pre[u]];
         u = pre[u];
     }

     return;
 }

 int main() {
     int q;
     scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
     m = std::max(n, m);
     for(int i = ; i <= q; i++) {
         int x, y;
         LL z;
         scanf("%d%d%lld", &x, &y, &z);
         val[x][y] = std::max(val[x][y], z);
         w[x] = std::max(w[x], val[x][y]);
     }
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         ++Time; // ++Time
         BFS(i);
     }
     LL ans = ;
     for(int i = n + ; i <= n + m; i++) {
         if(val[mat[i]][i - n]) { // do not forget " - n"!
             mat[mat[i]] = i;
             ans += val[mat[i]][i - n];
         }
     }
     printf("%lld\n", ans);
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         printf("%d ", mat[i] ? mat[i] - n : mat[i]);
     }
     return ;
 }

AC代码

最后感谢YYB神犇，我是照抄他的代码的%%%%%%。