题目链接:codeforces 997C.Sky Full of Stars

一道很简单(?)的推式子题

直接求显然不现实,我们考虑容斥

记\(f(i,j)\)为该方阵中至少有\(i\)行和\(j\)列为相同颜色的情况

那么显然有\(ans=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n C_n^i C_n^j (-1)^{i+j-1} f(i,j)\ \ (i+j\neq0)\)

其中对于\(f(i,j)\)的取值有两种情况

​ I.若\(i=0\)或\(j=0\),先假设\(i=0\),那么颜色相同的\(j\)列的颜色可以随意变化,故\(f(i,j)=f(0,j)=3^j*3^{n(n-j)}\)

​ II.若\(i\neq0\ \&\&\ j\neq0\),那么这\(i\)行和\(j\)列的颜色一定是相同的,故\(f(i,j)=3*3^{(n-i)(n-j)}\)

对于I,我们可以在\(O(nlogn)\)的时间内求出结果

对于II,我们可以通过预处理在\(O(n^2)\)的时间内求出结果,但这显然是不可行的,于是我们考虑变形

根据3的幂次我们令\(i=n-i,j=n-j\)

那么原式=\(\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} C^{n-i}_n C^{n-j}_n (-1)^{2n-i-j-1} 3*3^{ij}\)

=\(3\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} C^{i}_n C^{j}_n (-1)^{i+j+1} 3^{ij}\)

这样做的话仍然没有结束,我们考虑将\(i\)提出来

原式=\(3\sum_{i=0}^{n-1} C_n^i (-1)^{i+1} \sum_{j=0}^{n-1} C_n^j (-1)^j 3^{ij}\)

=\(3\sum_{i=0}^{n-1} C_n^i (-1)^{i+1} \sum_{j=0}^{n-1} C_n^j (-3^i)^j\)

由二项式定理知,原式=\(3\sum_{i=0}^{n-1} C_n^i (-1)^{i+1} [(1+(-3^i))^n-(-3^i)^n]\)

这样的话我们也能在\(O(nlogn)\)的时间内求出这个值

总时间复杂度\(O(nlogn)\)

#include<iostream>
#include<string>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for (i=a;i<=b;i++)
typedef long long ll;
#define maxd 998244353 ll qpow(ll x,ll y)
{
ll ans=1,sum=x;
while (y)
{
int tmp=y%2;y/=2;
if (tmp) ans=(ans*sum)%maxd;
sum=(sum*sum)%maxd;
}
return ans;
} int n;
ll c[1001000],inv[1001000]; int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while ((ch<'0') || (ch>'9')) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while ((ch>='0') && (ch<='9')) {x=x*10+(ch-'0');ch=getchar();}
return x*f;
} void init()
{
n=read();int i;
c[0]=1;inv[1]=1;
for (i=2;i<=n;i++) inv[i]=((maxd-maxd/i)*inv[maxd%i])%maxd;
for (i=1;i<=n;i++) c[i]=((c[i-1]*(n-i+1))%maxd*inv[i])%maxd;
//for (i=1;i<=n;i++) cout << c[i] << " ";cout << endl;
} void work()
{
ll ans=0,ans1=0,ans2=0;int i;
for (i=1;i<=n;i++)
{
if (i%2) ans1+=(c[i]*qpow(3,(ll)n*(n-i)+i))%maxd;
else ans1-=(c[i]*qpow(3,(ll)n*(n-i)+i))%maxd;
}
for (i=0;i<n;i++)
{
if (i%2) ans2+=(c[i]*(qpow(1+maxd-qpow(3,i),n)-qpow(maxd-qpow(3,i),n))%maxd)%maxd;
else ans2-=(c[i]*(qpow(1+maxd-qpow(3,i),n)-qpow(maxd-qpow(3,i),n))%maxd)%maxd;
}
ans1=((ans1%maxd)+maxd)%maxd;
ans2=((ans2%maxd)+maxd)%maxd;
ans=(ans1*2+ans2*3)%maxd;
printf("%I64d",ans);
} int main()
{
init();
work();
return 0;
}

codeforces 997C.Sky Full of Stars的更多相关文章

  1. [Codeforces 997C]Sky Full of Stars(排列组合+容斥原理)

    [Codeforces 997C]Sky Full of Stars(排列组合+容斥原理) 题面 用3种颜色对\(n×n\)的格子染色,问至少有一行或一列只有一种颜色的方案数.\((n≤10^6)\) ...

  2. Codeforces.997C.Sky Full of Stars(容斥 计数)

    题目链接 那场完整的Div2(Div1 ABC)在这儿.. \(Description\) 给定\(n(n\leq 10^6)\),用三种颜色染有\(n\times n\)个格子的矩形,求至少有一行或 ...

  3. Codeforces 997 C - Sky Full of Stars

    C - Sky Full of Stars 思路: 容斥原理 题解:http://codeforces.com/blog/entry/60357 注意当i > 1 且 j > 1,是同一种 ...

  4. CF997C Sky Full of Stars

    CF997C Sky Full of Stars 计数好题 在Ta的博客查看 容斥式子:发现只要每个钦定方案的贡献都考虑到再配上容斥系数就是对的 O(n^2)->O(n) 把麻烦的i=0,j=0 ...

  5. 【题解】CF997C Sky Full of Stars

    [题解]CF997C Sky Full of Stars 为什么我的容斥原理入门题是这道题????????? \(Part-1\)正向考虑 直接考虑不合法合法的方案吧 所以我们设行有\(i\),列有\ ...

  6. Codeforces 835C-Star sky

    题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/835/C 题意:天上有很多星星,每个星星有他自己的坐标和初始亮度,然后每个星星的亮度在一秒内会加一如果大于 ...

  7. codeforces997C Sky full of stars

    传送门:http://codeforces.com/problemset/problem/997/C [题解] 注意在把$i=0$或$j=0$分开考虑的时候,3上面的指数应该是$n(n-j)+j$ 至 ...

  8. cf997C. Sky Full of Stars(组合数 容斥)

    题意 题目链接 \(n \times n\)的网格,用三种颜色染色,问最后有一行/一列全都为同一种颜色的方案数 Sol Orz fjzzq 最后答案是这个 \[3^{n^2} - (3^n - 3)^ ...

  9. Codeforces997C Sky Full of Stars 【FMT】【组合数】

    题目大意: 一个$n*n$的格子,每个格子由你填色,有三种允许填色的方法,问有一行或者一列相同的方案数. 题目分析: 标题的FMT是我吓人用的. 一行或一列的问题不好解决,转成它的反面,没有一行和一列 ...

随机推荐

  1. uva11300 分金币(中位数)

    来源:https://vjudge.net/problem/UVA-11300 题意: 有n个人围成一圈,每个人有一定数量的金币,每次只能挪动一个位置,求挪动的最少金币使他们平分金币 题解: 蓝书p6 ...

  2. freemarker根据模板生成word文件实现导出功能

    一.准备工作 1.创建一个03的word文档,动态的数据用占位符标志占位(如testname).然后另存为word2003的xml文件. 2.格式化xml文件,占位符的位置用${testname}代替 ...

  3. no-sql数据库之redis

    一.FAQ 1.如果用连接器连接redis不成功,报如下错误: crash-report-server replied:Request Entity Too Large 则可以先通过cmd命令查看端口 ...

  4. node笔记

    基础入门可参考: <一起学 Node.js>—— https://github.com/nswbmw/N-blog 核心模块使用前需要引入   let fs=require('fs'); ...

  5. ansible jenkins war

    Ansible is Simple IT Automationhttps://www.ansible.com/ Ansible中文权威指南- 国内最专业的Ansible中文官方学习手册http://a ...

  6. AJAX返回值问题

    ajax同步方式获取返回值,必须以同步请求的的方式获取. //主函数部分 function confirm(id,...)//省略部分参数 { //...省略部分代码 //任务涉及专业 var Maj ...

  7. transform: translate(-50%, -50%) 实现块元素百分比下居中

    <!doctype html> <html> <head> <meta charset="utf-8"> <title> ...

  8. UTF-8编码与GBK编码下的字符长度

    源码: package lsh.java.charset; import java.nio.charset.Charset; public class LengthOfUTF_8 { public s ...

  9. RPC框架-RMI、RPC和CORBA的区别

    关键词:RMI RPC CORBA简 介:本篇文章重点阐述RMI,附带介绍RPC和CORBA Java远程方法调用(Java RMI)是一组实现了远程方法调用(rmi)的API. java RMI是远 ...

  10. git format-patch制作内核补丁

    git init git add ./ git commit 之后修改代码 修改代码后执行 git add ./ git commit 执行完成后执行git log查询commit 的id 执行git ...