【JZOJ100207】【20190705】决心

题目

你需要构造一个排列

初始时\(p_i=i\)，一次操作定义为：

• 选择一些\((x_i,y_i)\)，满足每个数字只能出现一次

• 依次交换\(p_{x_i},p_{y_i}\)

定义一个排列 \(P\) 的最少交换次数为\(f(P)\)

现在 \(P\) 有 \(k\) 个位置的排列顺序是未知的，定义某一种确定顺序的方案是\(P'\)

求\(\sum f(P')\)

\(1 \le n \le 10^6 \ , \ k \le min(12,n)\)

题解

• 首先操作次数不会超过2，考虑每一个轮换

  

  

• 考虑一个排列\(P\)，它的贡献是：
  
  1.如果所有轮换的大小<=2 ，最少的步数为0/1，贡献为0

  2.如果存在轮换的大小>2，最少的步数为2，考虑贡献

  大小不同的轮换不会互相影响

  大小相同的轮换可以两两拼在一起，也可以单独存在

  写成dp即$h_{i,j} \ = \ h_{i,j-1}i + h_{i,j-2}(j-1)i $

  如果大小为\(i\)的轮换有\(m_i\)个，总贡献为\(\prod h_{i,m_i}\)

• 如果确定的点指向不确定的点存在一条链\(l\)，那么就把不确定的点的大小看做\(|l|+1\)

• 预处理出所有的\(h\)，这样就可以只考虑不确定的点的排列

• 由于贡献只和轮换的大小有关，可以枚举集合划分再把贡献乘以一个圆排列

• 时间复杂度\(O(n \ log \ n + bell(k) \ k)\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=1000010,mod=1e9+7;
int n,k,p[N],q[N],cnt[N],pos[N],a[N],b[N],c[N],bl[N],iv[N],vis[N],T,preans,precnt[N],ans,fac[N],prefg1,prefg2,Bell;
vector<int>h[N];
void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int pw(int x,int y){
	int re=1;
	for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)
		if(y&1)re=1ll*re*x%mod;
	return re;
}
void pre(){
	for(int i=fac[0]=1;i<=n;++i){
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
		int lim=n/i;
		h[i].pb(1);h[i].pb(i);
		for(int j=2;j<=lim;++j){
			h[i].pb((h[i][j-1]+1ll*h[i][j-2]*(j-1)%mod)*i%mod);
		}
	}
}
void calc(int tot){
	static int st[N],tp;
	++T;tp=0;
	for(int i=1;i<=tot;++i)b[i]=0,c[i]=0;
	for(int i=1;i<=k;++i)b[bl[i]]++,c[bl[i]]+=a[i];
	int re=1,fg1=prefg1,fg2=prefg2;
	for(int i=1;i<=tot;++i){
		re=1ll*re*fac[b[i]-1]%mod;
		cnt[c[i]]++;fg1|=c[i]>1;fg2|=c[i]>2;
		if(vis[c[i]]!=T)vis[c[i]]=T,st[++tp]=c[i];
	}
	if(!fg1)re=1;
	if(fg2)re=1ll*re*preans%mod;
	for(int i=1;i<=tp;++i){
		int x=st[i];
		if(fg2)re=1ll*re*iv[x]%mod*h[x][cnt[x]]%mod;
		cnt[x]=precnt[x];
	}
	inc(ans,re);
}
void dfs(int x,int y){
	if(x==k+1){calc(y);return;}
	for(int i=1;i<=y+1;++i){
		bl[x]=i;
		dfs(x+1,max(i,y));
	}
}
int main(){
	freopen("determination.in","r",stdin);
	freopen("determination.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);k=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d",&p[i]);
		if(p[i])q[p[i]]=i;else pos[++k]=i;
	}
	for(int i=1;i<=k;++i){
		int len=1;vis[pos[i]]=1;
		for(int j=q[pos[i]];j;j=q[j])vis[j]=1,len++;
		a[i]=len;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!vis[i]){
		int len=1;vis[i]=1;
		for(int j=p[i];j!=i;j=p[j])vis[j]=1,len++;
		cnt[len]++;prefg2|=len>2;prefg1|=len>1;
	}
	pre();
	preans=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		precnt[i]=cnt[i];
		preans=1ll*preans*h[i][cnt[i]]%mod;
		iv[i]=pw(h[i][cnt[i]],mod-2);
		vis[i]=0;
	}
	dfs(1,0);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}