『选课树形dp 输出方案』

<更新提示>

<第一次更新>这道题的树上分组背包的做法已经在『选课有树形依赖的背包问题』中讲过了，本篇博客中主要讲解将多叉树转二叉树的做法，以便输出方案。

<正文>

选课

Description

学校实行学分制。每门的必修课都有固定的学分，同时还必须获得相应的选修课程学分。学校开设了N（N < 500）门的选修课程，每个学生可选课程的数量M是给定的。学生选修了这M门课并考核通过就能获得相应的学分。

　　在选修课程中，有些课程可以直接选修，有些课程需要一定的基础知识，必须在选了其它的一些课程的基础上才能选修。例如《Frontpage》必须在选修了《Windows操作基础》之后才能选修。我们称《Windows操作基础》是《Frontpage》的先修课。每门课的直接先修课最多只有一门。两门课也可能存在相同的先修课。每门课都有一个课号，依次为1，2，3，…。

上例中1是2的先修课，即如果要选修2，则1必定已被选过。同样，如果要选修3，那么1和2都一定已被选修过。　　你的任务是为自己确定一个选课方案，使得你能得到的学分最多，并且必须满足先修课优先的原则。假定课程之间不存在时间上的冲突。

Input Format

　第一行包括两个正整数N、M（中间用一个空格隔开）其中N表示待选课程总数（1≤N≤500)，M表示学生可以选的课程总数（1≤M≤N)。以下M行每行代表一门课，课号依次为1，2,…,M。每行有两个数（用一个空格隔开），第一个数为这门课的先修课的课号（若不存在先修课则该项为0），第二个数为这门课的学分。

Output Format

第一行只有一个数，即实际所选课程的学分总数。以下N行每行有一个数，表示学生所选课程的课号。

n行学生选课的课号按从小到大的顺序输出。

Sample Input

Sample Output

解析

直接使用树上背包的方法，不便于输出方案，我们换一种思路$dp$。对于每一个节点，我们记录$br[i]$代表$i$一个兄弟节点的编号，$ch[i]$代表$i$一个子节点的编号。如果兄弟节点和子节点不止一个怎么办，显然，它兄弟的兄弟也是它的兄弟，它儿子的兄弟也是它的儿子，这样就可以表示所有的兄弟节点和儿子节点了，而事实上，对于每一个$i$我们只记录一个$br[i]$和$ch[i]$，这样，本质上我们就把多叉树转换为二叉树了。

还是设$f[x][t]$代表以$x$为根的子树中选了$t$门课的最大学分，显然有两种转移：

$1.$ 不取节点$x$，直接令$f[x][t]=f[br[x]][t]$即可

$2.$ 取节点$x$并在以$x$为根的子树中取一部分点，剩下的一部分点在兄弟中取，即$f[x][t]=max\{f[br[x]][i]+f[ch[x]][t-i-1]+a[x]\}$

利用上述两个方程即可完成树形$dp$。

我们可以通过同样的枚举方式得知每一次节点$x$是否被选，就能得到方案了。

$Code:$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 520;

int n,m,br[N],ch[N],a[N],f[N][N],ans[N];

inline void input(void)

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for (int i=1;i<=n;i++)

    {

        int fa; scanf("%d%d",&fa,&a[i]);

        if ( fa == 0 ) fa = n+1;

        br[i] = ch[fa];

        ch[fa] = i;

    }

}

inline void dp(int x,int t)

{

    if ( f[x][t] > 0 ) return;

    if ( x == 0 || t == 0 ) return;

    dp( br[x] , t );

    f[x][t] = f[br[x]][t];

    for (int i=0;i<t;i++)

    {

        dp( br[x] , i ) , dp( ch[x] , t-i-1 );

        f[x][t] = max( f[x][t] , f[br[x]][i] + f[ch[x]][t-i-1] + a[x] );

    }

}

inline void solve(int x,int t)

{

    if ( x == 0 || t == 0 ) return;

    if ( f[x][t] == f[br[x]][t] ) return solve( br[x] , t );

    for (int i=0;i<t;i++)

    {

        if ( f[x][t] == f[br[x]][i] + f[ch[x]][t-i-1] + a[x] )

        {

            solve( br[x] , i ) , solve( ch[x] , t-i-1 );

            ans[x] = true; break;

        }

    }

}

int main(void)

{

    input();

    dp( ch[n+1] , m );

    solve( ch[n+1] , m );

    printf("%d\n",f[ch[n+1]][m]);

    for (int i=1;i<=n;i++)

        if ( ans[i] )

            printf("%d\n",i);

    return 0;

}

<后记>