[NOI2018]归程（80pts）

https://www.zybuluo.com/ysner/note/1219964

题面

题面太长，难以概述，[戳我][1]

• \(ex10pts\ tree\)
• \(50pts\ n\leq1500,Q\leq2000\)
• \(65pts\ off-line\)
• \(100pts\ n\leq2*10^5,m\leq4*10^5,Q\leq4*10^5\)

解析

如果考场上不是盲目地码码码，而是开始先认真思考，我可以多得好多分呢

\(50pts\)算法

堆优化\(SPFA\)预处理\(1\)结点到各结点最短路。

然后从出发点出发，只走当时边权为\(0\)的边（海拔高于水位线），取能走到点中离\(1\)点最短距离即为答案。

本质上就是枚举由坐车转步行那个关键点，坐车无距离，步行距离取最短路，因而可以统计答案。

复杂度\(O(Qn)\)。

注意，只要时间允许，一定要在开头（每组数据开始）清空所有相关数组！！！

il void dfs(re int u,re int g)
{
    ans[0]=min(ans[0],dis[u]);
    for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
        re int v=e[i].to;
        if(vis[v]||e[i].g<=g) continue;vis[v]=1;
        dfs(v,g);
    }
}
il void solve2()
{
    fp(i,1,qq)
    {
        re int v=gi(),p=gi();
        v=(v+k*las-1)%n+1;p=(p+k*las)%(s+1);
        ans[0]=2e9;
            fp(j,1,n) vis[j]=0;vis[v]=1;
        dfs(v,p);
        printf("%d\n",ans[0]);las=ans[0];vis[v]=0;
    }
}

\(65pts\)算法

离线意味着可以改变询问顺序。

怎么改变呢？

我们思维上可能更习惯于水位线上升。

水位线上升时，有边权的边数逐渐增多，我们应该加边。然而加边后怎么办？从出发点出发怎么走？总不能忽略那些边权为\(0\)的边吧。这是一条死路。

于是倒过来看。

水位线下降时，边权一一变为\(0\)，意味着两个端点可以合并视为一个点，两个端点到\(1\)号点的距离也可以取\(min\)（表现为取距\(1\)近的点为父亲）。该操作用并查集维护。

这样，把询问按水位线从高到低排序，把边按海拔从高到低排序，如果水位线降到海拔以下就把边的两端点并入并查集，即可做到\(O(?Q)\)复杂度。

il int find(re int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}
il void Merge(re int x,re int y)
{
    re int fx=find(x),fy=find(y);
    if(fx==fy) return;
    if(dis[fx]>dis[fy]) f[fx]=fy;else f[fy]=fx;
}
il void solve1()
{
    fp(i,1,n) f[i]=i;
    fp(i,1,qq)
    {
        re int v=gi(),p=gi();
        v=(v-1)%n+1;p=p%(s+1);
        q[i]=(que){v,p,i};
    }
    sort(q+1,q+1+qq);
    sort(a+1,a+1+m);
    re int now=2e9,ysn=1;
    fp(i,1,qq)
    {
        if(now>q[i].g)
        {
            now=q[i].g;
            while(a[ysn].g>now)
            {
                Merge(a[ysn].u,a[ysn].v);ysn++;
            }
        }
        ans[q[i].id]=dis[find(q[i].v)];
    }
    fp(i,1,qq) printf("%d\n",ans[i]);
}

\(ex10pts\)算法

树的意义是树上任意两点路径唯一。

取\(1\)为根节点，我们只要从出发点一直向上走父亲就可以了，遇到一个有边权的就停下来答该点\(dis\)。

但是暴跳复杂度上限\(O(Qn)\)很虚。

于是倍增优化一下，维护父亲和区间内最小值（新技能\(get\)）即可。

话说回来，维护区间内最小值就是这样。

\[f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][fa[i-1][j]])
\]

在区间\([j,j+2^{i-1}-1]\)和区间\([j+2^{i-1},j+2^i-1]\)中取\(min\)，即可得到区间\([j,j+2^i-1]\)的最小值。

我们只倍增跳区间最小值为\(0\)的区间即可。

复杂度\(O(Qlogn)\)。

il void dfss(re int u,re int fa)
{
  for(re int i=h[u];i+1;i=e[i].nxt)
    {
      re int v=e[i].to;
      if(v==fa) continue;
      dfss(v,u);
      ff[0][v]=u;
      ff1[0][v]=e[i].g;
    }
}
il void solve3()
{
  dfss(1,0);
  fp(i,1,18) fp(j,1,n) ff[i][j]=ff[i-1][ff[i-1][j]],ff1[i][j]=min(ff1[i-1][j],ff1[i-1][ff[i-1][j]]);
  fp(i,1,qq)
  {
    re int v=gi(),p=gi();
    v=(v+k*las-1)%n+1;p=(p+k*las)%(s+1);
    fq(i,18,0) if(ff[i][v]&&ff1[i][v]>p) v=ff[i][v];
    printf("%d\n",dis[v]);las=dis[v];
  }
}

在上述提高组操作后，即可获得\(80pts\)的高分。。。开头都要跑\(SPFA\)

[1]: https://www.luogu.org/problemnew/show/P4768