A*算法的有关知识--例子：最短路径问题

前置知识

定义1，g(n)＝从树根到节点n的代价。当算法处理到某个节点时，g(n)是可以精确计算的。

定义2，h*(n)＝从节点n到目标节点的优化路径的代价。一般不可知。

定义3，f*(n)＝g(n) + h*(n)是包含节点n的路径的最小代价。一般不可知。

定义4，h(n)＝从节点n到目标节点的优化路径的估计代价。

定义5，f(n)＝g(n) + h(n)是包含节点n的路径的估计最小代价。

假设，对于任意的节点n而言，已知h*(n)，可以构建出一个算法直接找到最优解，即处理每一次选择时，都选择f*(n)代价最小的节点。但是，对于任意一个算法而言，h*(n)不可知，我们只能够估计h*(n)的值，这也是爬山法和Best-Frist算法中评价函数或启发式函数的作用。

算法本质

A*算法保证所估计h*(n)的值h(n)满足：h(n) ≤ h*(n)。

一旦满足这个条件，当使用使用Best-first策略搜索时，如果该方法选中的节点是目标节点，那么该节点表示的解就是当前问题的最优解。

定理1，使用Best-first策略搜索，且满足h(n) ≤ h*(n)，如果算法选择的节点是目标节点, 则该节点表示的解是优化解。

       证明1：只需要证明，f*(t)是最优解代价即可，n为此时可以进行扩展的所有节点，即f*(t)是{f*(n)}中的最小值。

• 由于节点t是目标节点，所以h*(t) = h(t) = 0，f(t) = f*(t) = g(t)。
• 假设：{f*(n)}中的最小值为M，M∈{f*(n)}。
• 由于 f*(t)∈{f*(n)}，故而，f(t) ≥ M。
• 由于此时算法选择的节点是节点t，即在当前可以扩展的节点中，t是估计总代价最小的那一个，故而 f(t) ≤ f(n) ，而对于所有当前可以扩展的节点n而言，由于h(n) ≤ h*(n)，所以 f(n) ≤ f*(n)，而{f*(n)}中的最小值为M，f(t) ≤ M。
• 由 f(t) ≥ M 以及 f(t) ≤ M 可知，f(t) = M。

算法拓展

可以将A*算法的h(n)作两种极端情况的考虑。

• 对于任意的节点n，h(n) = 0，此时算法退化，每一次进行选择时，选择当前g(n)最小也就是当前路径长度最小的点。
• 对于任意的节点n，h*(n) = 0，正如本文之前提到的，直接可以选择得到，不会走其他路径。

由此，可以明确的是，尽量使得h(n)接近h*(n)，越接近，算法越佳。

例子说明

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