最小生成树MST

定义

在一给定的无向联通带权图\(G = (V, E, W)\)中，\((u, v)\) 代表连接顶点 \(u\) 与顶点 \(v\) 的边，而 \(w(u, v)\) 代表此边的权重，若存在 \(T\) 为 \(E\) 的子集,且为无循环图，使得 \(w(T)\) 最小，则此 \(T\) 为 \(G\) 的最小生成树。

其中\(w(T)=\sum\limits_{(u,v)∈t} w(u,v)\)

由定义易得，\(T\)中的边数为 顶点个数\(-1\)。

实现算法常用\(Kruskal\)和\(Prim\)

\(Kruskal\)算法

将边按权值从小到大排序再依次放入图中，当整个图只有一个连通分量时，程序结束。

实现方法：

• 1.找到\(E\)中最小边
• 2.判断边的两点是否在同一连通分量中
• 3.若在，舍弃此边，转1。
• 4.若不在，添加此边，将端点所在连通分量合并。
• 5.所有边全选完后，若选边数为n-1，则输出解，否则无解处理。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int EDG=1000010;
const int VER=100010;
int n,m;
struct edge
{
	int _start;
	int _end;
	int _weigh;
} arc[EDG];/*结构体存边，便于排序*/
bool cmp(edge a,edge b)
{
	return a._weigh<b._weigh;
}
int parent[VER];
inline void init();
inline int find(int x);
int union_(int x,int y);
inline bool search_(int x,int y);

int main()
{
	init();
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>arc[i]._start>>arc[i]._end>>arc[i]._weigh;
	}
	if(m<n-1)//如果不够n-1条边，直接无解
	{
		cout<<"orz";
		return 0;
	}
	sort(arc+1,arc+1+m,cmp);//权值排序
	int num=0;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(!search_(arc[i]._start,arc[i]._end))//如果边的端点不在同一个连通分量中
		{
			ans+=arc[i]._weigh;//选择这条边
			union_(arc[i]._end,arc[i]._start);//合并两个连通分量
			num++;//选择的边数 +1
		}
	}
	if(num==n-1)//最小生成树只可能有n-1条边
	{
		cout<<ans;
	}
	else cout<<"orz";
}

/*----------并查集相关----------*/
inline void init()
{
	for(int i=0;i<=VER;i++)
	{
		parent[i]=i;
	}
}
inline int find(int x)
{
	int x_root=x;
	while(x_root!=parent[x_root])
	{
		x_root=parent[x_root];
	}
	while(x!=x_root)
	{
		int tmp=parent[x];
		parent[x]=x_root;
		x=tmp;
	}
	return x_root;
}
int union_(int x,int y)
{
	int x_root=find(x);
	int y_root=find(y);
	if(x_root==y_root) return 0;
	parent[x_root]=y_root;
	return 1;
}
inline bool search_(int x,int y)
{
	return find(x)==find(y);
}

\(Prim\)算法

其实就是\(dijksrta\)的变种，配合理解即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int edg[1010][1010];
int dis[100010];
int vis[100010];
int n;

void prim()
{
	int sum=0;
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=edg[1][i];
	vis[1]=1;
	dis[1]=1;
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int minn=INF;
		int u;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!vis[j]&&minn>dis[j])
			{
				u=j;
				minn=dis[j];
			}
		}
		vis[u]=1;
		sum+=minn;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(!vis[j]&&edg[u][j]<dis[j])
			{
				dis[j]=edg[u][j];
			}
		}
	}
	cout<<sum;
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			cin>>edg[i][j];
		}
	}
	prim();
	return 0;
}