P5851 [USACO19DEC]Greedy Pie Eaters P

如果只考虑选哪些奶牛吃派和奶牛吃派的顺序，就会陷入僵局，那么我们可以考虑派的情况。

套路地令 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\sim j\) 这一段派，能满足一些奶牛，它们的最大可能体重。

\[f_{i,j}=f_{i,k-1}+f_{k+1,j}+w_p(i\leq l_p\leq k\leq r_p\leq j)
\]

因为一头奶牛至少吃一个派，所以就可以枚举这个派是什么，要满足的条件是这头奶牛吃派不会影响到 \(i\sim j\) 范围之外的派且 \(k\) 位置的派能吃到。

直接搞显然是 \(n^3m\) 的，仔细分析一下，发现奶牛是否合法仅仅取决于 \(i,j,k\) 对其 \(l,r\) 的限制，奶牛产生的贡献也仅仅取决于其本身的 \(w\)。不妨令 \(g_{i,j,k}\) 表示在该限制下最大的 \(w\)，那么转移方程就变为：

\[f_{i,j}=f_{i,k-1}+f_{k+1,j}+g_{i,j,k}
\]

接着就考虑 \(g\) 怎么搞。

初始化：\(g_{l_p,r_p,l_p\sim r_p}=w_p\)（每头奶牛吃派的范围不同）。

转移：\(g_{i,j,k}=\max\{g_{i+1,j,k},g_{i,j-1,k}\}\)。

其实就是预处理一下区间 \(\max\)。

时间复杂度 \(O(n^3)\)~

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 305
#define Max(x,y)((x)>(y)?x:y)
#define For(i,x,y)for(i=x;i<=(y);i++)
int g[N][N][N],f[N][N];
int main()
{
	int n,m,i,j,w,l,r,len,k;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	For(i,1,m)
	{
		scanf("%d%d%d",&w,&l,&r);
		For(j,l,r)g[l][r][j]=w;
	}
	For(len,1,n-1)
	For(i,1,n)
	{
		j=i+len-1;
		if(j>n)break;
		For(k,i,j)g[i][j+1][k]=Max(g[i][j+1][k],g[i][j][k]),g[i-1][j][k]=Max(g[i-1][j][k],g[i][j][k]);
	}
	For(len,1,n)
	For(i,1,n)
	{
		j=i+len-1;
		if(j>n)break;
		For(k,i,j)f[i][j]=Max(f[i][j],f[i][k-1]+f[k+1][j]+g[i][j][k]);
	}
	printf("%d",f[1][n]);
	return 0;
}