「LOJ 538」「LibreOJ NOIP Round #1」数列递推

description

• sosusosu 虐爆 OI 之后成为了一名文化课选手。一天，他做作业碰到了一堆数列问题，每道题给出的数列都是以下形式：

给定一个下标从\(0\)开始，无限长的整数列\({a_{i}}\)，\(i \in N\) ，已知\(a_{0},a_{1}\) 的值，以及递推式\(a_{i+2}=ka_{i+1}+a_{i}\)，\(i \in N\) ，\(k \in N^+\)。

• sosusosu 研究了这些数列，发现它们十分优美充满人类智慧，于是决定出一道 OI 题。
• sosusosu 给了你一个集合 \(S\subset N\)，他想问你对于\(S\)中的每个数\(s_i\)，使得\(a_{s_{i}}\)最大的\(s_{i}\)使得\(a_{s_{i}}\)最小的\(s_{i}\)分别是多少。如果这样的\(s_{i}\)有多个，请你回答最小的一个。
• 另外，sosusosu 准备对他作业中碰到的每个数列都让你回答一次，不过每次的集合\(S\)是一样的。
• 数列数量\(n\le3*10^5\),\(S\)中的元素个数\(m\le 10^5\)

solution

• 手玩几组样例，可以得到一个结论：序列在经过某一个临界点之后会变成单调递增或单调递减，且最多只有前\(log_2{k}\)个数是不单调的，请读者自证我太菜了不会证明
• 故暴力判断前\(log_2{k}\)个数，然后根据序列的单调性判断\(S\)中最大的一个数是最大值还是最小值即可
• 注意如果前\(log_2{k}\)个数中没有任何一个在\(S\)中，那么答案就会是\(S_1\)，需要特判

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int N=3e5+10;
const int M=1e5+10;
int m,n,s[M],w[M];
ll a[N];
int main(){
//	freopen("ex_seq4.in","r",stdin);
	m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		s[i]=read();
	}
	n=read();
	while(n--){
		a[0]=read();a[1]=read();
		int k=read();
		int fi=min(100,s[m]);
		ll mx=-1e16,mn=1e16;
		int mxp=-1,mnp=-1;
		for(int i=2;i<=fi;++i){
			a[i]=1ll*k*a[i-1]+a[i-2];
			if(a[i]>1e15&&a[i-1]>=0&&a[i-2]>=0&&a[i]>=0){fi=i;break;}
			if(a[i]<-1e15&&a[i-1]<=0&&a[i-2]<=0&&a[i]<=0){fi=i;break;}
		}
		for(int i=1;i<=m;++i){
			if(s[i]<fi){
				if(a[s[i]]>mx) mx=a[s[i]],mxp=s[i];
				if(a[s[i]]<mn) mn=a[s[i]],mnp=s[i];
			}
			else break;
		}
		if(a[fi]>mx&&a[fi]>0)mxp=s[m];
		if(a[fi]<mn&&a[fi]<0)mnp=s[m];
		if(mxp==-1)mxp=s[1];
		if(mnp==-1)mnp=s[1];
		printf("%d %d\n",mxp,mnp);
	}
	return 0;