from NOIP2016模拟题28

题目大意

n个点的序列,权值\(<=10^6\)

q个操作

1.单点修改

2.求所有区间gcd中,不同数个数

分析

1.以一个点为端点,向左或向右的gcd种数都只有\(\log Maxval\)种且收敛很快

1.权值较小可以用桶统计一个gcd的出现次数

做法1(正解)线段树上二分

  1. \(n \log n\)递推预处理出以每个点为右端点的gcd

    顺便记录每种gcd出现的最左位置,用于统计数量,更新到桶里

  2. 可以用一颗线段树维护单点修改,区间gcd

  3. 考虑一次修改x(可以看成一次删除+一次插入)

    影响的只是包含x的区间

    根据分析1,我们在线段树上二分

    搞出x向左的\(\log\)个gcd及出现的次数,和向右的....

    因为左边某个区间的所有数和右边某个区间的所有数两两gcd都相同

    \(\log^2\)更新答案

    复杂度\(\log^2\),再加个gcd 的log

做法2 线段树强行维护

每个点维护3个信息

到左的log个gcd(tl)

到右的log个gcd(tr)

整个区间的gcd(all)

pushup的时候更新tl,tr,O(\(\log\))

左儿子tr和右儿子tl弄在一起gcd一下,O(\(\log^2\)),gcd还有一个\(\log\)

对于删除,点x到根上统计的信息都无效了,直接删掉

在插入的时候重新统计

复杂度\(\log^3\),再加个gcd 的log

比赛时强行意识流,求tl,tr的时候不顺带求出出现次数直接当成1

然后现在想想好像并不会错→_→

solution

做法1

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M=50007;
const int N=1000007;
typedef long long LL; inline int rd(){
int x=0;bool f=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
return f?x:-x;
} int n,m;
int a[M];
int ans; LL v[N];
void add(int d,LL num){
if(v[d]==0)ans++;
v[d]+=num;
}
void del(int d,LL num){
v[d]-=num;
if(v[d]==0)ans--;
} int notprime[N];
int prime[N],cnt;
int p[N];//p[i]表示i因数中最小的素数
int sn=1000;
int split[N][3];
int g[1007][1007]; int gcd(int x,int y){
int ans=1,i,d;
for(i=0;i<3;i++){
if(split[x][i]<=sn) d=g[split[x][i]][y%split[x][i]];
else d=(y%split[x][i]==0)?split[x][i]:1;
ans*=d;
y/=d;//避免算重
}
return ans;
} void init_gcd(){
notprime[1]=1;
int i,j,d;
for(i=2;i<N;i++){
if(!notprime[i]){
prime[++cnt]=i;
p[i]=i;
}
for(j=1;j<=cnt;j++){
if((LL)prime[j]*i>=N) break;
d=prime[j]*i;
notprime[d]=1;
p[d]=prime[j];
if(i%prime[j]==0) break;
}
} split[1][0]=split[1][1]=split[1][2]=1;
for(i=2;i<N;i++){
memcpy(split[i],split[i/p[i]],sizeof(split[i/p[i]]));
if(split[i][0]*p[i]<=sn) split[i][0]*=p[i];
else if(split[i][1]*p[i]<=sn) split[i][1]*=p[i];
else split[i][2]*=p[i];
} // gcd(0,0)=0 , gcd(0,x)=x
for(i=0;i<=sn;i++)
for(j=0;j<=i;j++){
if(!i||!j) g[i][j]=i|j;
else g[i][j]=g[j][i]=g[j][i%j];//j<=i
}
} struct node{
int fir,d;
}q[57];
int tq=0; bool cmp(node x,node y){
if(x.d==y.d) return x.fir<y.fir;
else return x.d<y.d;
} int uni(int num){
int i,cnt=0;
for(i=1;i<=num;i++)
if(q[i].d!=q[i-1].d) q[++cnt]=q[i];
return cnt;
} void init_ans(){
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=tq;j++) q[j].d=gcd(q[j].d,a[i]);
q[++tq].d=a[i];q[tq].fir=i;
sort(q+1,q+tq+1,cmp);
tq=uni(tq);
for(j=1;j<tq;j++) add(q[j].d,q[j+1].fir-q[j].fir);
add(q[tq].d,i+1-q[tq].fir);
}
} int all[M<<2]; void pushup(int x){
all[x]=gcd(all[x<<1],all[x<<1|1]);
} void build(int x,int l,int r){
if(l==r){
all[x]=a[l];
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(x<<1,l,mid);
build(x<<1|1,mid+1,r);
pushup(x);
} void update(int x,int l,int r,int to){
if(l==r){
all[x]=a[l];
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(to<=mid) update(x<<1,l,mid,to);
else update(x<<1|1,mid+1,r,to);
pushup(x);
} int getlf(int x,int l,int r,int tl,int tr,int G){
if(tl<=l&&r<=tr && all[x]%G==0) return 0;
if(l==r) return l;
int mid=l+r>>1,tp=0;
if(mid<tr) tp=getlf(x<<1|1,mid+1,r,tl,tr,G);
if(tl<=mid&&tp==0) tp=getlf(x<<1,l,mid,tl,tr,G);
return tp;
} int getrt(int x,int l,int r,int tl,int tr,int &G){
if(tl<=l&&r<=tr && all[x]%G==0) return n+1;
if(l==r) return l;
int mid=l+r>>1,tp=n+1;
if(tl<=mid) tp=getrt(x<<1,l,mid,tl,tr,G);
if(mid<tr&&tp==n+1) tp=getrt(x<<1|1,mid+1,r,tl,tr,G);
return tp;
} struct nnd{
int num,d;
nnd(int nn=0,int dd=0){num=nn;d=dd;}
}lf[57],rt[57];
int cl,cr; void mdf(int x,int kd){
int l,r,tp,nw,i,j;
cl=cr=0; l=1,r=x,nw=a[x];
while(l<=r){
tp=getlf(1,1,n,l,r,nw);
lf[++cl]=nnd(r-tp,nw);
if(tp!=0) nw=gcd(nw,a[tp]);
r=tp;
} l=x,r=n,nw=a[x];
while(l<=r){
tp=getrt(1,1,n,l,r,nw);
rt[++cr]=nnd(tp-l,nw);
if(tp!=n+1) nw=gcd(nw,a[tp]);
l=tp;
} for(i=1;i<=cl;i++)
for(j=1;j<=cr;j++){
if(kd==1) add(gcd(lf[i].d,rt[j].d),lf[i].num*rt[j].num);
else del(gcd(lf[i].d,rt[j].d),lf[i].num*rt[j].num);
}
} int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
#endif
n=rd(),m=rd();
int i,x,y;
for(i=1;i<=n;i++) a[i]=rd();
init_gcd();
init_ans();
build(1,1,n);
for(i=1;i<=m;i++){
x=rd(),y=rd();
mdf(x,-1);
a[x]=y;
update(1,1,n,x);
mdf(x,1);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}

做法2

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int M=50007;
const int N=57; inline int rd(){
int x=0;bool f=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
return f?x:-x;
} int n,m;
int val[M]; struct node{
int a[N];
}; node tl[M<<2],tr[M<<2];
int cl[M<<2],cr[M<<2],cp;
int all[M<<2]; LL num[1000007];
int ans; int gcd(int x,int y){
while(y){
x%=y;
swap(x,y);
}
return x;
} void add(int d){
if(num[d]==0) ans++;
num[d]++;
} void del(int d){
num[d]--;
if(num[d]==0) ans--;
} void eras(int x){
int lc=x<<1,rc=x<<1|1;
int i,j;
for(i=1;i<=cr[lc];i++)
for(j=1;j<=cl[rc];j++)
del(gcd(tr[lc].a[i],tl[rc].a[j]));
} void pushup(int x){
int lc=x<<1,rc=x<<1|1;
int i,j;
for(i=1;i<=cr[lc];i++)
for(j=1;j<=cl[rc];j++)
add(gcd(tr[lc].a[i],tl[rc].a[j])); all[x]=gcd(all[lc],all[rc]); cl[x]=0;
for(i=1;i<=cl[lc];i++) tl[x].a[++cl[x]]=tl[lc].a[i];
for(i=1;i<=cl[rc];i++) tl[x].a[++cl[x]]=gcd(all[lc],tl[rc].a[i]);
sort(tl[x].a+1,tl[x].a+cl[x]+1);
cl[x]=unique(tl[x].a+1,tl[x].a+cl[x]+1)-(tl[x].a+1); cr[x]=0;
for(i=1;i<=cr[rc];i++) tr[x].a[++cr[x]]=tr[rc].a[i];
for(i=1;i<=cr[lc];i++) tr[x].a[++cr[x]]=gcd(tr[lc].a[i],all[rc]);
sort(tr[x].a+1,tr[x].a+cr[x]+1);
cr[x]=unique(tr[x].a+1,tr[x].a+cr[x]+1)-(tr[x].a+1);
} void build(int x,int l,int r){
if(l==r){
tl[x].a[cl[x]=1]=val[l];
tr[x].a[cr[x]=1]=val[l];
all[x]=val[l];
add(val[l]);
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(x<<1,l,mid);
build(x<<1|1,mid+1,r);
pushup(x);
} void chg(int x,int l,int r,int to){
if(l==r){
del(val[l]);
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(to<=mid) chg(x<<1,l,mid,to);
else chg(x<<1|1,mid+1,r,to);
eras(x);
} void mdf(int x,int l,int r,int to){
if(l==r){
tl[x].a[cl[x]=1]=val[l];
tr[x].a[cr[x]=1]=val[l];
all[x]=val[l];
add(val[l]);
return;
}
int mid=l+r>>1;
if(to<=mid) mdf(x<<1,l,mid,to);
else mdf(x<<1|1,mid+1,r,to);
pushup(x);
} int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
#endif
int i,x,y;
n=rd(),m=rd();
for(i=1;i<=n;i++) val[i]=rd(); build(1,1,n); for(i=1;i<=m;i++){
x=rd(),y=rd();
chg(1,1,n,x);
val[x]=y;
mdf(1,1,n,x);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}

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