BZOJ 2023 [Usaco2005 Nov]Ant Counting 数蚂蚁：dp【前缀和优化】

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2023

题意：

　　有n个家族，共m只蚂蚁(n <= 1000, m <= 100000)。

　　每个家族有cnt[i]只蚂蚁，并且同一家族中的蚂蚁无差别。

　　从窝里爬出来x只蚂蚁的方案数为f(x)。

　　给定a,b，让你求 ∑ f(a to b) MOD 1000000。

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = combinations

　　　　i：第i个家族已经考虑过了

　　　　j：目前出来了j只蚂蚁

　　找出答案：

　　　　ans = ∑ dp[n][a to b]

　　如何转移：

　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j-k] (0 <= k <= cnt[i], j-k >= 0)

　　　　即：dp[i][j] = ∑ dp[i-1][max(0,j-cnt[i]) to j];

　　边界条件：

　　　　dp[0][0] = 1

　　　　others = 0

　　优化：

　　　　（1）裸dp时间复杂度为O(n * m^2) = 10^13，绝对炸了。。。

　　　　　　所以前缀和优化：求 ∑ dp[i-1][max(0,j-cnt[i]) to j]。

　　　　（2）裸dp空间复杂度为 n*m(Byte) = 95 MB > 64 MB，又炸了咋办。。。

　　　　　　滚动数组。因为dp[i][j]只会用到dp[i-1][...]。

AC Code:

 // state expression:
 // dp[i][j] = combinations
 // i: considering ith group
 // j: j ants have been outside
 //
 // find the answer:
 // sigma dp[n][a to b]
 //
 // transferring:
 // dp[i][j] = sigma dp[i-1][j-k] (0 <= k <= cnt[i], j-k >= 0)
 //
 // boundary:
 // dp[0][0] = 1
 // others = 0
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 1005
 #define MAX_M 100005
 #define MOD 1000000

 using namespace std;

 int n,m,a,b;
 int ans=;
 int cnt[MAX_N];
 int dp[][MAX_M];
 int sum[][MAX_M];

 void read()
 {
     cin>>n>>m>>a>>b;
     memset(cnt,,sizeof(cnt));
     int temp;
     for(int i=;i<m;i++)
     {
         cin>>temp;
         cnt[temp]++;
     }
 }

 int cal_mod(int x)
 {
     return (x%MOD+MOD)%MOD;
 }

 int cal_sum(int k,int x,int y)
 {
     if(x==) return cal_mod(sum[k&][y]);
     return cal_mod(sum[k&][y]-sum[k&][x-]);
 }

 void update_sum(int k,int x)
 {
     if(x==) sum[k&][x]=cal_mod(dp[k&][x]);
     else sum[k&][x]=cal_mod(sum[k&][x-]+dp[k&][x]);
 }

 void solve()
 {
     memset(dp,,sizeof(dp));
     dp[][]=;
     for(int i=;i<=m;i++)
     {
         sum[][i]=;
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         for(int j=;j<=m;j++)
         {
             dp[i&][j]=cal_sum(i-,max(,j-cnt[i]),j);
             update_sum(i,j);
         }
     }
     for(int i=a;i<=b;i++)
     {
         ans=cal_mod(ans+dp[n&][i]);
     }
 }

 void print()
 {
     cout<<ans<<endl;
 }

 int main()
 {
     read();
     solve();
     print();
 }