洛谷CF895C Square Subsets（线性基）

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不知道线性基是什么东西的可以看看蒟蒻的总结

题意：

给你n个数，每个数<=70，问有多少个集合，满足集合中所有数相乘是个完全平方数（空集除外）

题解：

完全看不出这玩意儿和线性基有什么关系……我可能太菜了……

首先，一个完全平方数分解质因数之后每个质因子都出现偶数次

又因为小于等于$70$的质数总共18个，可以用18位的二进制表示，0表示偶数次，1表示奇数次

那么两个数相乘就是每一个质因子表示的位的异或

那么就是求有多少种方法相乘得0

首先求出原数组的线性基，设$cnt$表示线性基内数的个数

那么答案就是$2^{n-cnt}-1$

证明：线性基内的数是最小线性无关组

那么除了线性基内的所有数的子集都能被线性基内的数张成（就是表示出来）

那么上面的所有子集和张成相等，两者异或起来为0

所以把线性基内的数除去，剩下的数的所有子集都能与线性基内的数异或成0

那么答案就是真子集个数

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 const int N=1e5+,M=,mod=1e9+;
 int p[]={,,,,,,,,,,,,,,,,,,};
 int b[M],a[N],n,cnt;
 inline int ksm(int x,int y){
     int res=;
     while(y){
         if(y&) res=1ll*res*x%mod;
         x=1ll*x*x%mod,y>>=;
     }
     return res;
 }
 void insert(int x){
     for(int i=;i>=;--i){
         if(x>>i&){
             if(!b[i]){b[i]=x;break;}
             x^=b[i];
         }
     }
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     n=read();
     for(int i=;i<=n;++i){
         int x=read();
         for(int j=;j<=;++j){
             if(x%p[j]==){
                 int now=;
                 while(x%p[j]==) x/=p[j],now^=;
                 a[i]|=now<<j;
             }
         }
     }
     for(int i=;i<=n;++i) insert(a[i]);
     for(int i=;i<=;++i)
     if(b[i]) --n;
     printf("%d\n",ksm(,n)-);
     return ;
 }