【BZOJ4555】【TJOI2016】【HEOI2016】求和 （第二类斯特林数+NTT卷积）

Description

在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:

$$f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)\times 2^j\times(j!)$$

$S(i,j)$表示第二类斯特林数，递推公式为:
$S(i,j)=j\times S(i-1,j)+S(i-1,j-1),1\leq j\leq i-1$。
边界条件为：$S(i,i)=1(0\leq i),S(i,0)=0(1\leq i)$
你能帮帮他吗？

Input

输入只有一个正整数$n$

Output

输出$f(n)$。

由于结果会很大，输出$f(n)$对$998244353(7×17×223+1)$取模的结果即可。

题解：

递推式给你就是玩你的，一点关系都没有！

第二类斯特林数通项公式：

$$S(i,j)=\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k C_j^k(j-k)^i$$

代入原式得

$$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i \frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k C_j^k(j-k)^i\times 2^j\times(j!)$$

组合数展开得

$$\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i 2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k\frac{j!}{k!(j-k)!}(j-k)^i$$

交换枚举顺序得

$$\sum_{j=0}^n(j!)2^j\sum_{k=0}^n{(-1)^k\over k!}{1\over (j-k)!}\sum_{i=0}^n(j-k)^i$$

看到又有$k$又有$j-k$，这不是卷积吗？

令 $a(x)=\sum_{x=0}^n{(-1)^x\over x!}$

$b(x)={1\over (x)!}\sum_{i=0}^n(x)^i$

则 $f(x)=(x!)2^x\sum_{i=0}^n a(x)b(x-i)$

不过循环边界到n不会越界吗？这对答案没有影响，因为斯特林数和组合数都为0。

那就直接NTT了，刚好给了一个NTT模数。（这莫非是提示？）

CODE：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;

 #define mod 998244353
 int n,bit=,rev[],ans=;
 long long fac[],inv[],ivf[];
 long long a[],b[];

 int qpow(int x,int y){
     int ans=;
     while(y){
         if(y&)ans=1LL*ans*x%mod;
         y>>=,x=1LL*x*x%mod;
     }
     return ans;
 }

 void init(){
     fac[]=ivf[]=inv[]=inv[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-]*i%mod;
     for(int i=;i<=n;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
     for(int i=;i<=n;i++)ivf[i]=ivf[i-]*inv[i]%mod;
     a[]=b[]=;
     for(int i=,f=-;i<=n;i++,f=-f){
         if (i==)a[i]=n+;
         else a[i]=ivf[i]*(qpow(i,n+)-)%mod*inv[i-]%mod;
         b[i]=f*ivf[i]%mod;
         if(a[i]<)a[i]+=mod;
         if(b[i]<)b[i]+=mod;
     }
 }

 void get_rev(){
     while(bit<=n+n)bit<<=;
     for(int i=;i<bit;i++)
     rev[i]=(rev[i>>]>>)|(i&)*(bit>>);
 }

 void NTT(long long a[],int dft){
     for(int i=;i<bit;i++)
         if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
     for(int i=;i<bit;i<<=){
         long long W=qpow(,(mod-)/i/);
         if(dft==-)W=qpow(W,mod-);
         for(int j=;j<bit;j+=i<<){
             long long w=;
             for(int k=j;k<i+j;k++,w=w*W%mod){
                 long long x=a[k];
                 long long y=w*a[k+i]%mod;
                 a[k]=(x+y)%mod,a[k+i]=(x+mod-y)%mod;
             }
         }
     }
     int inv=qpow(bit,mod-);
     if(dft==-)for(int i=;i<bit;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;
 }

 int main(){
     scanf("%d",&n);
     init();
     get_rev();
     NTT(a,),NTT(b,);
     for(int i=;i<bit;i++)(a[i]*=b[i])%=mod;
     NTT(a,-);
     for(int i=;i<=n;i++){
         ans+=qpow(,i)*fac[i]%mod*a[i]%mod;
         if(ans>=mod)ans-=mod;
     }
     printf("%d",ans);
 }