2016 Multi-University Training Contest 10 solutions BY BUPT

1001.

一个数组上的两个区间求中位数,可以通过分类讨论直接找到中位数,复杂度O(1).不过本题数据较小,优美的log(n)也可过.

1002.

直接求得阴影面积表达式即可.

1003.

二分完成时间判是否可行.不妨设A的deadline比B的deadline短,对于一次判断内,由于总时间固定,两类任务完成的总时间固定,则可用来练习的时间也固定,首先找到可完成的收益最大的A类任务,若找不到则在B里找,此时若B类的收益还不如去练习,而且练习时间有剩余的话,就先去练习.A类任务若能做则不需要考虑收益,因为要优先保证A的deadline,先练后练对最优解无影响.

1004.

对于第i个数,如果i mod k == 0, 说明它是第一轮出队的,若i mod k != 0,那么i在一轮之后等同于一开始i-i/k的状态,则一遍地推可求得所有数是第几轮第几个出队的,预处理出出队序列O(1)回答查询即可.

1005.

为了使得花费最小,对于一段路来说,它的打开时间就是最早一次被用到到最后一次被用到这段时间.对于每一个操作a,b,在两个点上打上标记,从左至右做一遍扫描,可知道每段路当前有哪些操作会用到它,取出最大值和最小值,在这两个位置打上标记,最后对结果再进行一次扫描即可.

1006.

由于数据限制,只有竖向与横向的线段才会产生交点,所以先对横向线段按x端点排序,每次加入一个线段,将其对应的y坐标位置+1,当出现一个竖向线段时,查询它的两个y端点之间的和即为交点个数.

1007.

用dp[i][j][d]表示构建好i个字符后,最后面的最长公共长度为j,d表示之前答没达到过m,后一状态有j+1,0两种,O(1)递推即可.由于n很大m很小,可以用矩阵快速幂处理.复杂度O(m^3logn)

1008.

直接搜索的状态空间有24(旋转) \(\times\) 2(镜面)\(\times\) 6!(颜色),乘上O(24)的验证,单组数据复杂度到了O(1e6),经过一些很麻烦的优化后能降到O(1e3)左右,差不多能AC.
标解是hash,根据每种颜色的四个位置,求出C(4,2)个距离,共6\(\times\)C(n,2)个距离,排序之后能排除颜色交换的干扰,若两个状态的hash值,判定为同构,否则不同构.用标程和暴搜对拍了5e6组单组数据,没有diff.验证了可行性.

1009.

必胜条件是所有的石子的sg数模三异或为0，如7，11，13，14为0111，1011，1101，1110
然后可以枚举一个石子的后继然后再再其他石子的后继看是否可行.
复杂度是预处理每个石子走了后继以后的变化O(m)并将其记录，可用map或者hash 然后枚举一个石子的后继然后再在其他的变化中查找能让它变0的方法数，复杂度是O(M$\times $M),如果用map再多一个log(m).

1010.

考虑到操作数M较小而树较大，所以可以对操作数进行计算。
假设初始时树上的节点的最大值为x，则在操作完成后的树上的节点的最大值不超过x+M,不低于x，所以可以枚举最终状态的值再计算概率。
设dp[i][k]表示操作i所作用的那棵子树v在操作完成后最大值不超过x+k的概率,maxtree(v) 为该子树初始时的最大值
那么可得递推式
dp[i][k]=p[i] \(\times\) π(dp[j][k-1])+(1-p[i]) \(\times\) π(dp[j][k-1]) j为i的同一棵子树上的后继操作( maxtree(v)<=maxtree(root)+k);
or dp[i][k]=0;(maxtree(v)>maxtree(root)+k)；
注意到子树的最大值会比maxtree(root)小很多，因此k可能为负， 所以要加上偏移量M
为了便于计算，添加作用于根节点的概率为0的操作(root,0)
然后预处理出每个操作u的后继操作即可。
先给每一个树标记上dfs的入序indfn[v]和出序outdfn[v]，那么作用在v节点上的操作的影响区间就是[indfn[v],outdfn[v]], 所以计算出区间之间的包含关系即可
最后结果为Σ（maxtree(root)+k) \(\times\) (dp[0][k+MAX_M]-dp[0][k-1+MAX_M]);
总复杂度O(M \(\times\) M+N);

1011.

直接模拟即可.