BZOJ3328 PYXFIB 单位根反演

题意：求
\[
\sum_{i=0}^n[k|i]\binom{n}{i}Fib(i)
\]
斐波那契数列有简单的矩阵上的通项公式\(Fib(n)=A^n_{1,1}\)。代入得
\[
=\sum_{i=0}^n[k|i]\binom{n}{i}A^i_{1,1}
\]
由单位根反演，
\[
=\sum_{i=0}^n\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}w_k^{ij}\binom{n}{i}A^i_{1,1}
\]
注意到后面多项与\(i\)有关，考虑将\(i\)贬到后面去。
\[
=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n(w_k^j)^i\binom{n}{i}A^i_{1,1}
\]
二项式定理描述为\((a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\)，右侧形式的要点在于卷积和组合数。因此式子可化为
\[
=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}(w_k^{-j-n}(A+w_k^{-j}I)^n)_{1,1}
\]
后面可快速幂计算。

2019.4.21注：都提到“反演”了显然是计数（组合）内容啊