【bzoj1855】 [Scoi2010]股票交易 单调队列优化DP

上一篇blog已经讲了单调队列与单调栈的用法，本篇将讲述如何借助单调队列优化dp。

我先丢一道题：bzoj1855

此题不难想出O(n^4)做法，我们用f[i][j]表示第i天手中持有j只股票时，所赚钱的最大值。

不难推出以下式子：

$f[i][j]=max\left\{
\begin{aligned}
f[k][l]+(l-j)\times bp[i] , l \in [j,j+bs[i]]\\
f[k][l]-(j-l)\times ap[i] , l \in [j-as[i],j]\\
\end{aligned}
\right \}
k \in [1,i-w]$

考虑到第i天持有的j只股票不一定全是第i天购买的，则对于$\forall j$，有$f[i][j]≥f[i-1][j]$，式子可化为O(n^3),变为：

$f[i][j]=max\left\{
\begin{aligned}
f[i-w-1][l]+(l-j)\times bp[i] , l \in [j,j+bs[i]]\\
f[i-w-1][l]-(j-l)\times ap[i] , l \in [j-as[i],j]\\
\end{aligned}
\right \}$

考虑到$i,j≤1000$,如采用此做法依然会TLE，我们考虑采用单调队列进行优化，以下以卖出股票举例：

我们设$k<l<j$，我们认为$f[i-w-1][k]$比$f[i-w-1][l]$优，则必然满足$f[i-w-1][k]>f[i-1-1][l]+(k-l) \times bp[i]$。

我们对于每一个$i$，维护一个$f[i-w-1]$的单调队列，采用上述的判定机制删除非最优元素，同时考虑到$k,l$应位于区间$[j,j+bs[i]]$中，则需从队头删除下标不位于该区间的元素，最优用队头元素更新f[i][j]即可。

买入同理。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 4010
 using namespace std;
 int f[M][M/]={},ap[M]={},bp[M]={},as[M]={},bs[M]={};
 int t,n,w,head,tail,q[M]={},id[M]={};
 int main(){
     scanf("%d%d%d",&t,&n,&w);
     for(int i=w+;i<=t+w;i++) scanf("%d%d%d%d",ap+i,bp+i,as+i,bs+i);
     for(int i=;i<=w;i++)
     for(int j=;j<=n;j++) f[i][j]=-;
     for(int i=w+;i<=t+w;i++){
         for(int j=;j<=n;j++) f[i][j]=f[i-][j];
         head=tail=;
         for(int j=;j<=n;j++){
             if(head<tail&&id[head+]<j-as[i]) head++;
             while(head<tail&&q[tail]-f[i-w-][j-]<((j-)-id[tail])*ap[i]) tail--;
             q[++tail]=f[i-w-][j-]; id[tail]=j-;
             if(head<tail) f[i][j]=max(f[i][j],q[head+]-(j-id[head+])*ap[i]);
         }
         head=tail=;
         for(int j=n-;j>=;j--){
             if(head<tail&&j+bs[i]<id[head+]) head++;
             while(head<tail&&f[i-w-][j+]-q[tail]>(id[tail]-(j+))*bp[i]) tail--;
             q[++tail]=f[i-w-][j+]; id[tail]=j+;
             if(head<tail) f[i][j]=max(f[i][j],q[head+]+(id[head+]-j)*bp[i]);
         }
     }
     printf("%d\n",f[t+w][]);
 }