BZOJ2142 礼物【扩展Lucas】

题目

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E

心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人

，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某

个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；

第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；

以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

输出格式

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

输入样例

100

4 2

输出样例

提示

【样例说明】

下面是对样例1的说明。

以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：

1/23 1/24 1/34

2/13 2/14 2/34

3/12 3/14 3/24

4/12 4/13 4/23

【数据规模和约定】

设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。

对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤105。

题解

式子很简单，记$sum[i]$为w[i]前缀和：

\[ans = {n \choose sum[m]} \prod\limits {sum[m] - sum[i - 1] \choose w[i]}
\]

重点在于计算$C_{n}^{m} \mod P$，其中$n,m \le 10^9$且$P = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}.....$，其中每一个$p_i^{k_i} \le 10^5$

扩展Lucas##

对于质数$P \le 10^5$，我们可以用Lucas定理计算出

\[C_{n}^{m} = \prod\limits_{i = 1} C_{\lfloor \frac{n}{P^{i - 1}} \rfloor \mod P^i}^{\lfloor \frac{m}{P^{i - 1}} \rfloor \mod P^i}
\]

但对于合数$P$，Lucas定理就不再适用了

于是我们使用中国剩余定理

\[\left\{
\begin{array}{c}
x\equiv c_1\pmod {m_1}\\
x\equiv c_2\pmod {m_2} \\
x\equiv c_3\pmod {m_3}\\
...\\
x\equiv c_k\pmod {m_k}
\end{array}
\right.\]

显然$x$就是答案，用中国剩余定理合并出$x$

我们只需要快速计算$C_{n}^{m} \mod p_i^{k_i}$

我们只需要快速计算$n! \mod p_i^{k_i}$

因为$(a + P) \equiv a \pmod P$

而

\[n! = \prod\limits_{i = 1}^{n} i
\]

所以我们对$n$个数按$P$进行分组并提取出其中$p_i$的倍数，假使有$t$个

可以得出

\[n! = p_i^{t} * (\prod\limits_{x = 1}^{p_i^{k_i}} x [x \mod p_i \ne 0])^{\frac{n}{p_i^{k_i}}} * (\lfloor \frac{n}{p_i} \rfloor)!
\]

左边是$O(p_i^{k_i})$的，右边递归$\lfloor \frac{n}{p_i} \rfloor$

我们先提取出$n,m,n - m$的$p_i$，使其结果必定与$p_i$

其中$n!$中$p$的个数为$x=\lfloor{n\over p}\rfloor+\lfloor{n\over p^2}\rfloor+\lfloor{n\over p^3}\rfloor+...$

最后结合逆元计算出$\frac{n!}{m!(n-m)!}$再乘上$p_i^{\sum t}$就行了

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define LL long long int

#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)

#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)

#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");

using namespace std;

const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000;

inline int read(){

	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();

	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}

	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}

	return out * flag;

}

LL sum;

int md,n,m,a[10];

int p[maxn],pk[maxn],pi,Ans[maxn];

void Sp(){

	int x = md;

	for (int i = 2; i * i <= x; i++){

		if (x % i == 0){

			p[++pi] = i; pk[pi] = 1;

			while (x % i == 0) x /= i,pk[pi] *= i;

		}

	}

	if (x - 1) ++pi,p[pi] = pk[pi] = x;

}

int qpow(int a,int b,int md){

	int ans = 1;

	for (; b; b >>= 1,a = 1ll * a * a % md)

		if (b & 1) ans = 1ll * ans * a % md;

	return ans;

}

void exgcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y){

	if (!b) {d = a; x = 1; y = 0;}

	else exgcd(b,a % b,d,y,x),y -= (a / b) * x;

}

int inv(int a,int P){

	int d,x,y; exgcd(a,P,d,x,y);

	return (x % P + P) % P;

}

int Fac(int n,int P,int Pi){

	if (!n) return 1;

	int ans = 1;

	if (n / P){

		for (int i = 2; i < P; i++)

			if (i % Pi) ans = 1ll * ans * i % P;

		ans = qpow(ans,n / P,P);

	}

	int E = n % P;

	for (int i = 2; i <= E; i++)

		if (i % Pi) ans = 1ll * ans * i % P;

	return 1ll * ans * Fac(n / Pi,P,Pi) % P;

}

int C(int n,int m,int P,int pi){

	if (m > n) return 0;

	int a = Fac(n,P,pi),b = Fac(m,P,pi),c = Fac(n - m,P,pi),k = 0,ans;

	for (int i = n; i; i /= pi) k += i / pi;

	for (int i = m; i; i /= pi) k -= i / pi;

	for (int i = n - m; i; i /= pi) k -= i / pi;

	ans = 1ll * a * inv(b,P) % P * inv(c,P) % P * qpow(pi,k,P) % P;

	return 1ll * ans * (md / P) % md * inv(md / P,P) % md;

}

int exlucas(int n,int m){

	int ans = 0;

	for (int i = 1; i <= pi; i++){

		ans = (ans + C(n,m,pk[i],p[i])) % md;

	}

	return ans;

}

int main(){

	md = read(); n = read(); m = read();

	for (int i = 1; i <= m; i++){

		sum += (a[i] = read());

		if (sum > n) {puts("Impossible"); return 0;}

	}

	Sp();

	int ans = exlucas(n,sum);

	for (int i = 1; i <= m; i++)

		ans = 1ll * ans * exlucas(sum,a[i]) % md,sum -= a[i];

	printf("%d\n",ans);

	return 0;

}