loj#2552. 「CTSC2018」假面

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loj#2552. 「CTSC2018」假面

题解

本题严谨的证明了我菜的本质

对于砍人的操作好做找龙哥就好了，blood很少，每次暴力维护一下

对于操作1

设\(a_i\)为第i个人存活的概率，\(d_i\)为死掉的概率，\(g_{i,j}\)是除i以外活了j个人的概率

那个选中i人的答案就是

\[a_i\times\sum_{j = 0} ^{k - 1}\frac{g_{i,j}}{j + 1}
\]

对于\(g_{i,j}\) ,设\(f_{i,j}\)表示前\(i\)个人有\(j\)个活着的概率,\(f_{i,j}\)可以dp出来

\[f_{i,j} = f_{i - 1,j} \times d_i + f_{i - 1,j - 1} \times a_i
\]

我们可以枚举每次\(g_{i,j}\)的i，然后skip掉，这样的复杂度是\(n^3\)的

然后就可以前缀后缀背包卷积NTT，或者单点删除的分治做法hhhhhhh

其实这个被背包删除物品可以做O(n)

逆着推一下就好了

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
inline int read() {
	int x = 0,f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while(c <= '9' && c >= '0') x = x * 10 + c - '0' ,c = getchar();
	return x * f;
}
const int mod = 998244353;
const int maxn = 2007;
long long b[maxn];
int n,m ;
long long p[maxn][maxn];
long long inv[maxn];
inline int add(int x,int y) {
	return x + y >= mod ? x + y - mod : x + y;
}
inline int fstpow(int x,int k) {
	int ret = 1;
	for(;k;k >>= 1,x = 1ll *x * x % mod)
		if(k & 1) ret = 1ll * ret * x % mod;
	return ret;
}
void solve1(int x,int P) {
	int rp = 1 + mod - P;
	for(int i = 0;i <= b[x];++ i) {
		if(i) p[x][i] = 1ll * p[x][i] * rp % mod;
		if(i < b[x]) p[x][i] = add(p[x][i] , 1ll * p[x][i + 1] * P % mod) ;
	}
}
int k;
void solve(int k) {
	static long long f[maxn],g[maxn],h[maxn],t[maxn];
	// f存活j个人的概率
	memset(f,0,sizeof f);
	f[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= k;++ i) t[i] = read();
	for(int a,d,i = 1;i <= k;++ i) {
		a = 1 + mod - p[t[i]][0];
		d = p[t[i]][0];
		for(int j = i;j >= 0;-- j)
			f[j] = add((j ? 1ll * f[j - 1] * a % mod : 0) , 1ll * f[j] * d % mod);
	}
	for(int i = 1;i <= k;++ i) {
		h[i] = 0;
		int a = 1 + mod - p[t[i]][0];
		if(!p[t[i]][0])
			for(int j = 0;j < k;++ j) h[i] = add(h[i],1ll * f[j + 1] * inv[j + 1] % mod);
		else {
			int Inv = fstpow(p[t[i]][0],mod - 2);
			for(int j = 0;j < k;++ j) {
				g[j] = ((f[j] - (j ? 1ll * g[j - 1] * a % mod : 0) + mod) % mod) * Inv % mod;
				h[i] = add(h[i],1ll * g[j] * inv[j + 1] % mod);
			}
		}
		h[i] = 1ll * h[i] * a % mod;
	}
	for(int i = 1;i <= k;++ i) printf("%d ",h[i]);
	puts("");
}
main() {
	//freopen("facel5.in","r",stdin); freopen("w.out","w",stdout);
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;++ i) b[i] = read(), p[i][b[i]] = 1,inv[i] = fstpow(i,mod - 2);
	m = read();
	for(int op,i = 1;i <= m;i += 1) {
		op = read();
		if(!op) {
			int x = read(),u = read(),v = read();
			solve1(x,1ll * u * fstpow(v,mod - 2) % mod);
		}
		else
			solve(read());
	}	

	for(int i = 1;i <= n;++ i) {
		int sum = 0;
		for(int j = 1;j <= b[i];++ j)
			sum = add(sum , 1ll * j * p[i][j] % mod) ;
		printf("%d%c",sum,i != n ? ' ' : '\n');
	}
	return 0;
}