f-GAN

学习总结于国立台湾大学 ：李宏毅老师

f-GAN: Training Generative Neural Samplers using Variational Divergence Minimization

本文Outline

一句话介绍f-GAN: you can use any f-divergence

一.  回顾GAN的basic idea：

我们想要machine生成的target distribution： P_data(x)  ,如下图蓝色区域的分布。图中的蓝色区域里面为P_data(x)值为高的部分，即sample出的图片看起来很好，蓝色区域外sample出来的看起来很模糊。

                    

那怎么做？要找到一个generator，即为NN， 这个网络就定义了一个probability distribution。此时generator的输入为一个分布：normal distribution， 输出就是另外一个distribution。而这个输出一般是很复杂的分布，可能是叫不上名字的分布（例如高斯混合分布等），毕竟是经过了NN。那我们的任务就是调整generator的参数使得生成的分布P_G(x)尽可能接近真实的分布 P_data(x) 。

上图操作的难点在于难以计算出P_G(x)， 就说给定x，无法算出P_G(x)是多少，如果可以算出P_G(x)是多少，就可以maxmize likelihood。所以给你已有的data，无法算出data的likelihood是多少，唯一能做的是从原始data中sample。

Basic Idea of GAN：

         

直观解释generator和discriminator在迭代过程中做了什么？

蓝色的点代表此时的generator画出的图，绿色的点为真实的数据分布，蓝线和绿线分别表示generator和data的distribution。红线为discriminator。那discriminator就是让绿点进入discriminator的输出为1， 蓝色输出为0，所以如果你训练了一个discriminator它应该长这个样子：

             

生成器又希望蓝线可以移向绿线                                  但调参G可能又使得移动过多， D又有新的判断

                      

G,D反复更新                                               完全重合时,D无法判别只能都是输出一样的值

实际为高维问题，远比二维复杂。

GAN的基本算法：

二. GAN的Unified Framework

什么是f-divergence、Fenchel Conjugate，然后 Connect to GAN

1. f-divergence

f-divergence论文讲到之前的discriminator和JS-divergence有关，但是可以设计你的discriminator让它跟任何的f-divergence有关。

什么是f-divergence？  f可以为很多不同的function，但必须满足（f is convex， f(1) = 0）：

假设P, Q为两个分布，p(x)和q(x)为sample x的概率（the probability of sampling x）。

f-divergence为大于等于0的数，当P和Q完全一样的分布时，D_f(P||Q)取到最小值0.否则为正数。  证明如下：

f-divergence栗子：

• f = xlogx 为 KL-divergence:   
• f = -logx 为Reverse KL-divergence：  
• f = (x-1)²  为Chi Squzre：  

2. Fenchel Conjugate

每个凸函数f有一个conjugate function f^*:

x不同的取值得到不同的直线，横坐标对应不同的t值取所有与直线中取值最大的值，这个操作就得到了红色的线，是个凸函数f^*(t)。

Fenchel Conjugate 栗子： 取x为0.1、1、10....

上图看起来像exp指数函数吧，事实上当f(x) = xlogx时， f^*(t)就是指数函数exp(t-1)  !!! 这个过程怎么算的呢？

很简单，令g(x) = xt- xlogx, 就是给定t，找一个x使得g(x)最大。所以对g(x)微分： t - logx -1 = 0 得到：x = exp(t-1)  带回原式得到f得共轭f^*：

3.  Connection with GAN

前提了解了 f 与它的共轭好朋友的互推关系：

现在将D_f(P||Q)中的 f 带入上式：

上式怎么得出的？假设有个函数叫D， 为一个function，它的输入为x，输出为t。 注意原式中的max{ }一项中为给定一个x找到一个t使得式子最大值，那么这个D为任意一个函数，所以它的输出应是个下界lower bound，所以可以用D来代替t，从而得到了下界：

所以这里的f-divergence有个近似，即找一个D使得式子  最大：

把P、Q代替后有：

算期望值可以利用sample来近似，要找一个P_G 和P_data越相近越好就是解下面这个式子：找一个G来最小化divergence

所以这就推出了原生GAN的优化目标： 

原生GAN论文实现：double-loop algorithm：

f-GAN论文实现：Single -step：

注意G、D的update方向不一样。f-GAN论文中列出了各式各样的f-divergence：