NOIP模拟题 2017.11.6

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　　题目大意 给定一个大小为n的数组，从中选出一个子集使得这个子集中的数的和能被n整除。

　　假设开始我没有做出来，那么我就random_shuffle一下，然后计算前缀和，有一个能被n整除，就输出答案。于是这道题就过了。(数据水得起飞)

　　考虑计算前缀和，如果存在两个前缀和在模n的意义同余，那么就有可以将两个前缀和相减得到的一段区间的和，它的和就是n的倍数。

　　考虑这么做的正确性，模n的意义下有n个数，但是前缀和总共有(n + 1)个数。

Code

 #include <iostream>
 #include <fstream>
 #include <sstream>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <cctype>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <bitset>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <set>
 #include <map>
 #ifdef WIN32
 #define Auto "%I64d"
 #else
 #define Auto "%lld"
 #endif
 using namespace std;
 typedef bool boolean;
 typedef pair<int, int> pii;
 #define smin(_a, _b) _a = min(_a, _b)
 #define smax(_a, _b) _a = max(_a, _b)

 template<typename T>
 inline void readInteger(T& u) {
     char x;
     while(!isdigit(x = getchar()));
      + x - ');
 }

 int n;
 int* a;
 ;
 int L, R;

 inline void init() {
     readInteger(n);
     a = )];
     memset(a, -, ));
     a[] = ;
     , x; i <= n; i++) {
         readInteger(x);
         s = (s + x) % n;
         ) {
             L = a[s] + , R = i;
             return;
         }
         a[s] = i;
     }
 }

 inline void solve() {
     printf();
     for(int i = L; i <= R; i++)
         printf("%d ", i);
 }

 int main() {
     freopen("set.in", "r", stdin);
     freopen("set.out", "w", stdout);
     init();
     solve();
     ;
 }

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　　题目大意 有n本书，每次只能选择和上次种类不同的书阅读，问最少有多少本书看不了。

　　仔细分析题目可以得到一个信息:如果种类最多的那本书的数量大于n的一半，那么答案就是它的两倍减n减1。否则答案为0。

　　由于我只关心出现次数超过一半的众数的出现次数，因此有了以下三种解法(2骗分 + 1正解)

Solution 1 (抽样法I)

　　随机抽取一些位置，求出它们的众数，然后再带进原序列中求出现次数。

Code

 #include <iostream>
 #include <fstream>
 #include <sstream>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <cctype>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <bitset>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <set>
 #include <map>
 #ifdef WIN32
 #define Auto "%I64d"
 #else
 #define Auto "%lld"
 #endif
 using namespace std;
 typedef bool boolean;
 typedef pair<int, int> pii;
 #define ll long long
 #define smin(_a, _b) _a = min(_a, _b)
 #define smax(_a, _b) _a = max(_a, _b)

 template<typename T>
 inline void readInteger(T& u) {
     char x;
     while(!isdigit(x = getchar()));
      + x - ');
 }

 int m, k;
 ;
 int *counter;
 int *X, *Y, *Z, S;

 int myrand() {
      | rand();
 }

 inline void init() {
     readInteger(m);
     readInteger(k);
     counter = )];
     X = )];
     Y = )];
     Z = )];
     S = ( << k) - ;
     ; i <= m; i++) {
         readInteger(counter[i]);
         n += counter[i];
     }
     ; i <= m; i++)
         readInteger(X[i]);
     ; i <= m; i++)
         readInteger(Y[i]);
     ; i <= m; i++)
         readInteger(Z[i]);
 }

 ;
 int pos[randTime];

 inline void solve() {
     ; i < randTime; i++)
         pos[i] = myrand() % n;
     sort(pos + , pos + randTime);
     , pos + randTime) - pos;

     , cnt = , id = -;
     ; i <= m && p < len; i++) {
         last = X[i];
         if(cnt == pos[p])
             pos[p++] = last;
         cnt++;
         ; j < counter[i]; j++, cnt++) {
             last = (last * 1LL * Y[i] + Z[i]) & S;
             if(cnt == pos[p])
                 pos[p++] = last;
         }
     }

     pos[] = -;
     sort(pos + , pos + len);
     , maxcnt = ;
     ; i < len; i++) {
         ])
             cmp = ;
         if(++cmp > maxcnt)
             maxcnt = cmp, id = pos[i];
     }

     cnt = ;
     ; i <= m; i++) {
         cnt += (last = X[i]) == id;
         ; j < counter[i]; j++)
             cnt += (last = (last * 1LL * Y[i] + Z[i]) & S) == id;
     }

     )
         printf(");
     else
         printf( * cnt - n - );
 }

 int main() {
     freopen("read.in", "r", stdin);
     freopen("read.out", "w", stdout);
     srand();
     init();
     solve();
     ;
 }

read (Random I)

Solution 2 (抽样法II)

　　抽取每一段前10个，求出它们的众数，然后再带回原序列中求出现次数。

　　显然数据很水所以过了，然后求众数时，我没有排序，还是过了(这。。。)

Code

 #include <iostream>
 #include <fstream>
 #include <sstream>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <cctype>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <bitset>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <set>
 #include <map>
 #ifdef WIN32
 #define Auto "%I64d"
 #else
 #define Auto "%lld"
 #endif
 using namespace std;
 typedef bool boolean;
 typedef pair<int, int> pii;
 #define ll long long
 #define smin(_a, _b) _a = min(_a, _b)
 #define smax(_a, _b) _a = max(_a, _b)

 template<typename T>
 inline void readInteger(T& u) {
     char x;
     while(!isdigit(x = getchar()));
      + x - ');
 }

 int m, k;
 ;
 ];
 ], Y[], Z[], S;

 int myrand() {
      | rand();
 }

 inline void init() {
     readInteger(m);
     readInteger(k);
     S = ( << k) - ;
     ; i <= m; i++) {
         readInteger(counter[i]);
         n += counter[i];
     }
     ; i <= m; i++)
         readInteger(X[i]);
     ; i <= m; i++)
         readInteger(Y[i]);
     ; i <= m; i++)
         readInteger(Z[i]);
 }

 ];

 inline void solve() {
     ;
     ; i <= m; i++) {
         pos[++len] = X[i];
         ; j <= counter[i] && j < ; j++)
             pos[++len] = (pos[len - ] * Y[i] + Z[i]) & S;
     }

     pos[] = -;
     , id, maxcnt = , cnt, last;
     ; i < len; i++) {
         ])
             cmp = ;
         if(++cmp > maxcnt)
             maxcnt = cmp, id = pos[i];
     }

     cnt = ;
     ; i <= m; i++) {
         cnt += (last = X[i]) == id;
         ; j < counter[i]; j++)
             cnt += (last = (last * Y[i] + Z[i]) & S) == id;
     }

     )
         printf(");
     else
         printf( * cnt - n - );
 }

 int main() {
     freopen("read.in", "r", stdin);
     freopen("read.out", "w", stdout);
 //    srand(233);
     init();
     solve();
     ;
 }

read (Random II)

Solution 3 (求和法)

　　因为它出现次数大于一半，所以考虑用一个 cnt 和一个 id

　　枚举序列中每个数，如果 cnt ==  ，那么就将 id 赋值为当前枚举的这个数，并将cnt置为1。

　　否则，如果当前的这个数和 id 相等，就将 cnt 的值加1，否则减1。

　　这个算法完成后，我们会得到一个是出现次数超过n的一半的众数或者一个诡异的数，最后再把得到的id带回去求次数。

　　这么做的正确性显然(虽然解释不了但是觉得显然正确啊)。

Code

 #include <iostream>
 #include <fstream>
 #include <sstream>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <cctype>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <bitset>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <set>
 #include <map>
 #ifdef WIN32
 #define Auto "%I64d"
 #else
 #define Auto "%lld"
 #endif
 using namespace std;
 typedef bool boolean;
 typedef pair<int, int> pii;
 #define ll long long
 #define smin(_a, _b) _a = min(_a, _b)
 #define smax(_a, _b) _a = max(_a, _b)

 template<typename T>
 inline void readInteger(T& u) {
     char x;
     while(!isdigit(x = getchar()));
      + x - ');
 }

 int m, k;
 ;
 int *counter;
 int *X, *Y, *Z, S;

 inline void init() {
     readInteger(m);
     readInteger(k);
     counter = )];
     X = )];
     Y = )];
     Z = )];
     S = ( << k) - ;
     ; i <= m; i++) {
         readInteger(counter[i]);
         n += counter[i];
     }
     ; i <= m; i++)
         readInteger(X[i]);
     ; i <= m; i++)
         readInteger(Y[i]);
     ; i <= m; i++)
         readInteger(Z[i]);
 }

 , id;

 inline void add(int x) {
     )
         id = x, cnt = ;
     else if(id == x)
         cnt++;
     else
         cnt--;
 }

 inline void solve() {
     int last;
     ; i <= m; i++) {
         add(last = X[i]);
         ; j < counter[i]; j++)
             add(last = (last * 1LL * Y[i] + Z[i]) & S);
     }

     cnt = ;
     ; i <= m; i++) {
         cnt += (last = X[i]) == id;
         ; j < counter[i]; j++)
             cnt += (last = (last * 1LL * Y[i] + Z[i]) & S) == id;
     }

     )
         printf(");
     else
         printf( * cnt - n - );
 }

 int main() {
     freopen("read.in", "r", stdin);
     freopen("read.out", "w", stdout);
     init();
     solve();
     ;
 }

---

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　　题目大意 (题目太简洁，无法概括大意)

　　因为涉及到了可恶的位运算，为了更好地处理它们，所以想到Trie树。

　　如果Trie树的一个非叶节点在两天中表示的名次在a ~ b之间，设它的两棵子树的大小分别为s1和s2。

　　那么左子树表示的区间就是a ~ (a + s1 - 1)和(a + s2) ~ b，右子树同理。

　　因为最终到了叶节点，表示的区间都变成a ~ a的形式，并且我们关心的只是平方和。

　　所以考虑如何维护所有开始端点的平方和。

　　写写式子发现:

 

　　由于然后发现再维护一下所有左端点的和就可以搞定了。

　　写代码的时候可以用黑科技优化，不建Trie树就可以直接搞答案。先将A数组排序，然后对于每一层都进行二分查找这一位0和1的分界位置。

Code

 #include <iostream>
 #include <fstream>
 #include <sstream>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <cctype>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <bitset>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <set>
 #include <map>
 #ifdef WIN32
 #define Auto "%I64d"
 #else
 #define Auto "%lld"
 #endif
 using namespace std;
 typedef bool boolean;
 typedef pair<int, int> pii;
 #define ll long long
 #define smin(_a, _b) _a = min(_a, _b)
 #define smax(_a, _b) _a = max(_a, _b)

 template<typename T>
 inline void readInteger(T& u) {
     static char x;
     while(!isdigit(x = getchar()));
      + x - ');
 }

 ;

 int n, m;
 ;
 ll S;
 int* A;

 inline void init() {
     readInteger(n);
     readInteger(m);
     A = )];
     S = (1ll << (m - ));
     ; i <= n; i++)
         readInteger(A[i]);
 }

 void dfs(int dep, int L, int R, ll sum, ll sum2) {
     if(L == R) {
         ans ^= (sum2 % M);
         return;
     }
     int l = L, r = R;
     while(l <= r) {
         ;
          << dep))    r = mid - ;
         ;
     }
     , s2 = R - r;
     , L, r, sum + S * s2, sum2 + (ll)sum * s2 + S * s2 * s2);
     , r + , R, sum + S * s1, sum2 + (ll)sum * s1 + S * s1 * s1);
 }

 inline void solve() {
     sort(A + , A + n + );
     dfs(m - , , n, , );
     printf("%d", ans);
 }

 int main() {
     freopen("race.in", "r", stdin);
     freopen("race.out", "w", stdout);
     init();
     solve();
     ;
 }