2013年NOIP普及组复赛题解

题目涉及算法：

• 计数问题：枚举；
• 表达式求值：栈；
• 小朋友的数字：动态规划；
• 车站分级：最长路。

计数问题

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1980

因为数据量不大，所以直接枚举一下每个数，然后统计一下x出现的次数就可以了。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, x, cnt;
int main() {
    cin >> n >> x;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int j = i;
        while (j > 0) {
            if (j % 10 == x) cnt ++;
            j /= 10;
        }
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

表达式求值

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1981

涉及栈前缀表达式转后缀表达式。

题解地址：https://www.cnblogs.com/codedecision/p/11739390.html

小朋友的数字

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1982

首先表示一下这道题目的题目意思真的好难看懂啊。

因为这句话：

“第一个小朋友的分数是他的特征值，其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。”

到底这个 “其特征值” 是这个小朋友还是排在他前面的所有小朋友。一直没搞清楚啊~。

然后这是一道动态规划的题目。

首先需要求状态 \(f[i]\) ，它表示以 \(a[i]\) 结尾（且不需包含 \(a[i]\)）的最大字段和，状态转移方程为：

\(f[i] = max(f[i-1],0) + a[i]\)

这一步操作我觉得是没有问题的。

但是题目没有看懂，所以我决定暂时先不错了~。嗯，就是这么任性。

车站分级

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1983

这道题目只需要建图+求最长路就可以了。

对于每一趟车，我们假设它的区间范围为 \([L,R]\) ，然后我们假设 \([L,R]\) 范围内的数分为两个集合：

• 停靠的站对应的数的集合 \(S1\)；
• 没有停靠的站对应的数的集合 \(S2\)；

我们知道没有停靠的站的优先级比停靠的站的肯定要低，所以对于每一趟车来说，我们从 \(S2\) 集合中的所有点向 \(S1\) 集合中的所有点连一条权值为 \(1\) 的边。

然后我们设一个起点 \(start\) ， 对于所有入度为 0 的点，我们从起点连一条权值为 \(1\) 的点到这些点。

并且这个图是保证不存在环的。

然后我们直接套 SPFA 求一下最长路即可。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
vector<int> g[maxn];
bool bg[maxn][maxn], d[maxn], vis[maxn];
int n, m, cnt, a[maxn], dist[maxn], ans;
queue<int> que;
void test() {
    puts("[test]");
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        printf("\tdist[%2d] = %4d\n", i, dist[i]);
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    while (m --) {
        scanf("%d", &cnt);
        for (int i = 0; i < cnt; i ++) scanf("%d", &a[i]);
        for (int i = a[0], j = 0; i <= a[cnt-1]; i ++) {
            if (a[j] == i) j ++;
            else {
                for (int k = 0; k < cnt; k ++)
                    bg[i][ a[k] ] = true;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= n; j ++) {
            if (bg[i][j]) {
                g[i].push_back(j);
                d[j] = true;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (!d[i]) {
            dist[i] = 1;
            que.push(i);
        }
        else dist[i] = -1;
    }
    while (!que.empty()) {
        int u = que.front(); que.pop();
        vis[u] = false;
        int sz = g[u].size();
        for (int i = 0; i < sz; i ++) {
            int v = g[u][i];
            if (dist[v] == -1 || dist[v] < dist[u] + 1) {
                dist[v] = dist[u] + 1;
                if (!vis[v]) {
                    vis[v] = true;
                    que.push(v);
                }
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) ans = max(ans, dist[i]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

作者：zifeiy