AGC018F - Two Trees

题意

有两棵节点数均为 n 的有根树，你需要构造一个序列 \(X_1,X_2,...,X_n\)。使得对于每一棵树的每一个节点， 若令它所有的后代（包括它本身）为 \(a_1,a_2,...,a_k\)，则都有 \(abs(X_{a_1} + X_{a_2} +···+ X_{a_k}) = 1\)。 判断是否可行，若可行输出一种可行方案。

做法

\(-1\equiv 1(mod~2)\)，这启示我们将\(a_i\)赋为\(\{-1,0,1\}\)
根据儿子的数量可确定一个点的奇偶性

显然得两树各点的奇偶性均相同才有可能行
有个更强的结论是：奇偶性相同一定能构造出可行方案

这样构造：将所有奇点在两棵树上对应位置连边，建立一个虚点连向两棵树根节点，保留原来的边；跑欧拉回路，对于一条路径，我们设立方向（本身一条路径是没有方向的）；若存在某奇点第一棵树跑向第二棵树，设为\(-1\)，否则设为\(1\)，所以偶点设为\(0\)

定义横叉边为两棵树间的边
将欧拉回路拆成若干个有向环。
1类环表示从当前节点向儿子走，然后又从儿子走回当前点
2类环表示从当前节点向儿子走，从父亲边走回当前点（反向也是一样的）
3类环表示从当前节点向父亲边或横叉边走，又从这两个中另一个走回来
4类环表示从当前节点向儿子走，从横叉边走回当前点（反向也是一样的）
这样拆分的好处是可以发现一个环上各点和为\(0\)，然后分奇偶点简单讨论一下就可以了。这里不详细展开，可以看这里