[JZOJ5232] 【NOIP2017模拟A组模拟8.5】带权排序

题目

题目大意

有一个数列AAA，数列上的每个数都是在[li,ri][l_i,r_i][li​,ri​]范围内随机的数。

将这个数列进行稳定排序，得到每个位置在排序后的排名pip_ipi​。

f(A)=∑sipif(A)=\sum s_ip_if(A)=∑si​pi​，求E(f(A))E(f(A))E(f(A))。

---

思考历程

这种恶心的概率题根本就不知道该怎么思考好吗！

于是打了个暴力，就是枚举所有的情况，然后直接计算。

可是最后不知道为什么爆0了……

---

正解

E(f(A))=∑siE(pi)E(f(A))=\sum s_i E(p_i)E(f(A))=∑si​E(pi​)

所以我们只需要求出pip_ipi​的期望值就好了。

显然pi=∑j≤i∣aj≤ai∣+∑j&gt;i∣aj&lt;ai∣p_i=\sum_{j\leq i} |a_j \leq a_i|+\sum_{j&gt;i} |a_j&lt; a_i|pi​=∑j≤i​∣aj​≤ai​∣+∑j>i​∣aj​<ai​∣

左右两边是类似的，下面只考虑左边的情况。

设ai=xa_i=xai​=x。对于每个位置jjj，有三种情况：

1、当x&lt;ljx&lt;l_jx<lj​时，位置jjj作出的贡献为000。

2、当lj≤x≤rjl_j \leq x \leq r_jlj​≤x≤rj​时，位置jjj做出的贡献为x−li+1ri−li+1\frac{x-l_i+1}{r_i-l_i+1}ri​−li​+1x−li​+1​。

3、当x&gt;rjx&gt;r_jx>rj​时，位置jjj作出的贡献为111。

不解释……

可以将其转化成一个分段函数的图像来理解一下，前后两段都是与xxx轴平行的线，中间的那段是一段一次函数的图像。

将所有jjj的函数全部加起来，枚举xxx，就可以计算E(pi)E(p_i)E(pi​)。

接下来我们考虑的问题是如何将所有jjj的函数叠加起来，并且能够快速查询一段区间内的和。

在叠加之后，函数长得一定很奇怪……所以不能用数学方法。

考虑使用线段树，用线段树来维护这些东西。

现在有一个奇怪的操作，在线段树内的一段区间上加某段一次函数的图像。

换个说法就是给这段区间加上一个等差数列。

这个怎么维护呢？

我们发现最重要的一点就是标记，关键是如何维护标记。

合并标记的时候，两段一次函数的都在同一段区间内，仔细想想是可以合并的。

一次函数的普遍形式就是y=kx+by=kx+by=kx+b，合并起来之后就是y=(k1+k2)x+(b1+b2)y=(k_1+k_2)x+(b_1+b_2)y=(k1​+k2​)x+(b1​+b2​)。所以可以简单粗暴地相加。

这样维护标记的问题就解决了，整个区间的值都可以维护。

下一个问题就是如何快速地询问，直接维护和就好，在修改的时候加上等差数列的和（千万不要告诉我你不会等差数列求和）。

算法的核心就完成了。

所以我们维护一个这样的线段树，然后从左往右扫，将当前点的贡献（也就是那个分段函数）加入线段树当中，然后区间询问当前点取值范围这一区间内的和，计算E(pi)E(p_i)E(pi​)。

再从右往左扫，实际上是类似的。

---

代码

我才不会告诉你我先打了博客再打代码……