AcWing 206. 石头游戏 矩阵乘法|矩阵快速幂
AcWing 206. 石头游戏
石头游戏在一个 n 行 m 列 (1≤n,m≤8) 的网格上进行,每个格子对应一种操作序列,操作序列至多有10种,分别用0~9这10个数字指明。
操作序列是一个长度不超过6且循环执行、每秒执行一个字符的字符串。
每秒钟,所有格子同时执行各自操作序列里的下一个字符。
序列中的每个字符是以下格式之一:
1、数字0~9:表示拿0~9个石头到该格子。
2、NWSE:表示把这个格子内所有的石头推到相邻的格子,N表示上方,W表示左方,S表示下方,E表示右方。
3、D:表示拿走这个格子的所有石头。
给定每种操作序列对应的字符串,以及网格中每个格子对应的操作序列,求石头游戏进行了 t 秒之后,石头最多的格子里有多少个石头。
在游戏开始时,网格是空的。
输入格式
第一行4个整数n, m, t, act。
接下来n行,每行m个字符,表示每个格子对应的操作序列。
最后act行,每行一个字符串,表示从0开始的每个操作序列。
输出格式
一个整数:游戏进行了t秒之后,所有方格中石头最多的格子有多少个石头。
输入样例:
1 6 10 3
011112
1E
E
0
输出样例:
3
样例解释
样例中给出了三组操作序列,第一个格子执行编号为0的操作序列”1E”,第二至五个格子执行编号为1的操作序列”E”,第六个格子执行编号为2的操作序列”0”。
这是另一个类似于传送带的结构,左边的设备0间隔地产生石头并向东传送。
设备1向右传送,直到设备2。
10秒后,总共产生了5个石头,2个在传送带上,3个在最右边。
题解:我们可以把网格看成一维向量,下标从1开始,num(i,j) = (i-1)*m+j;
我们可以定义一个状态矩阵f,下标从0~n*m,其中f[num(i,j)]记录格子(i,j)中石头个数。
操作序列长度不超过6,1~6的最小公倍数为60,所以经过60s后所有序列都会处于重新开始的位置。每60s一个循环,我们只需记录第一个60s。
对于1~60之间的每一秒k,所有格子操作可以构成一个状态矩阵,矩阵行列下标都是0~n*m,构造方法如下:
- 若网格(i,j)第k秒的操作字符为“N”,且i>1,则令Ak[num(i,j),num(i-1,j)] = 1,表示把石子推到上面的格子里。“W”、“S”、“E”类似。
- 若网格(i,j)第k秒的操作字符为数字x,则令Ak[0,num(i,j)] = x,Ak[num(i,j),num(i,j)] = 1。
- 令Ak[0,0] = 1。 (保证f[0]始终为1)
- 其他部分赋值为0。
最后求出f中的最大值。
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 70
#define mod 1000000007
#define ll long long
int n,m,t,act;
struct Matrix
{
long long ma[maxn][maxn];
Matrix() {
memset(ma,, sizeof(ma));
}
}f,e[maxn],d;
Matrix mul(Matrix A,Matrix B)
{
Matrix C;
for(int i=;i<maxn;i++)
for(int j=;j<maxn;j++)
for(int k=;k<maxn;k++)
C.ma[i][j] += (A.ma[i][k]*B.ma[k][j]);
return C;
}
Matrix cel(Matrix A,Matrix B) {
ll w[]={};
for(int j=;j<=n*m;j++)
for(int k=;k<=n*m;k++)
w[j]+=A.ma[][k]*B.ma[k][j];
memcpy(A.ma[],w,sizeof(w));
return A;
}
Matrix pow_mod(Matrix A,long long t)
{
Matrix B = d;
while(t) {
if(t&) A = cel(A,B); //可直接mul(f,e[i]);
B=mul(B,B);
t>>=;
}
return A;
}
char s[][],cz[maxn][];
int len[maxn];
int num(int i,int j) {return (i-)*m+j;}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&t,&act);
for (int i = ; i <= n; i++) scanf("%s",s[i]+);
for (int i = ; i < act; i++) scanf("%s",cz[i]),len[i] = strlen(cz[i]);
for (int k = ; k <= ; k++) {
e[k].ma[][] = ;
for (int i = ; i <= n; i++) {
for (int j = ; j <= m; j++) {
int x = s[i][j] - '', y = (k-)%len[x];
if (cz[x][y] >= '' && cz[x][y] <= '') {
e[k].ma[][num(i,j)] = cz[x][y]-'';
e[k].ma[num(i,j)][num(i,j)] = ;
} else if (cz[x][y] == 'N' && i->) e[k].ma[num(i,j)][num(i-,j)] = ;
else if (cz[x][y] == 'W' && j->) e[k].ma[num(i,j)][num(i,j-)] = ;
else if (cz[x][y] == 'S' && i+<=n) e[k].ma[num(i,j)][num(i+,j)] = ;
else if (cz[x][y] == 'E' && j+<=m) e[k].ma[num(i,j)][num(i,j+)] = ;
}
}
if (k == ) d = e[];
else d = mul(d,e[k]);
}
ll ans = ;
f.ma[][] = ;
f = pow_mod(f,t/);
int z = t%;
for (int i = ; i <= z; i++) f = cel(f,e[i]); //可直接mul(f,e[i]);
for (int i = ; i <= n*m; i++) ans = max(ans,f.ma[][i]);
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
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