洛谷P3759 - [TJOI2017]不勤劳的图书管理员

Description

给出一个\(1..n(n\leq5\times10^4)\)的排列\(\{a_n\}\)和数列\(\{w_n\}(w_i\leq10^5)\)，进行\(m(m\leq5\times10^4)\)次操作：

交换\(a_{p_1},a_{p_2}\)，并求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n [a_i>a_j](w_{a_i}+w_{a_j})\)。

Solution

树套树/CDQ分治，想锻炼一下代码能力所以写了树套树。

首先这是一个求逆序对的问题，那么我们考虑交换\(a_{p_1},a_{p_2}\)对答案有什么影响。易知只有\(i\in[p_1+1,p_2-1]\)对答案造成影响：

若\(a_i<a_{p_1}\)，那么答案减\(a_i+a_{p_1}\)；若\(a_i>a_{p_1}\)，那么答案加\(a_i+a_{p_1}\)。

若\(a_i<a_{p_2}\)，那么答案加\(a_i+a_{p_2}\)；若\(a_i>a_{p_2}\)，那么答案减\(a_i+a_{p_2}\)。

那么求出\(\{c_1,s_1,c_2,s_2\}\)分别表示区间\([p_1+1,p_2-1]\)内小于/大于\(x\)的\(i\)的个数/\(w_i\)的和，然后就可以根据上两行计算答案的变化。而这可以用树套树来做。

时间复杂度\(O(mlog^2n)\)。

Code

//[TJOI2017]不勤劳的图书管理员

#include <algorithm>

#include <cstdio>

using std::swap;

typedef long long lint;

inline char gc()

{

    static char now[1<<16],*s,*t;

    if(s==t) {t=(s=now)+fread(now,1,1<<16,stdin); if(s==t) return EOF;}

    return *s++;

}

inline int read()

{

    int x=0; char ch=gc();

    while(ch<'0'||'9'<ch) ch=gc();

    while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();

    return x;

}

const int N=5e4+10;

const int P=1e9+7;

int n,m,a[N],w[N];

namespace init

{

    int tr1[N],tr2[N];

    void add(int x,int v) {while(x<=n) tr1[x]++,tr2[x]=(tr2[x]+v)%P,x+=x&(-x);}

    int sum1(int x) {int r=0; while(x) r+=tr1[x],x-=x&(-x); return r;}

    int sum2(int x) {int r=0; while(x) r=(r+tr2[x])%P,x-=x&(-x); return r;}

    int calc()

    {

        int res=0;

        for(int i=1;i<=n;i++)

        {

            res=(res+(lint)sum1(n-a[i]+1)*w[a[i]])%P;

            res=(res+sum2(n-a[i]+1))%P;

            add(n-a[i]+1,w[a[i]]);

        }

        return res;

    }

}

const int N1=2e6;

struct info

{

    int c1,s1,c2,s2;

    info(int _c1=0,int _s1=0,int _c2=0,int _s2=0) {c1=_c1,s1=_s1,c2=_c2,s2=_s2;};

    friend info operator +(info x,info y)

    {

        int c1=x.c1+y.c1,s1=x.s1+y.s1,c2=x.c2+y.c2,s2=x.s2+y.s2;

        return info(c1,s1%P,c2,s2%P);

    }

};

namespace inTr

{

    int cnt,fa[N1],ch[N1][2],siz[N1]; int val[N1],sum[N1];

    inline void update(int p)

    {

        siz[p]=siz[ch[p][0]]+1+siz[ch[p][1]];

        sum[p]=((sum[ch[p][0]]+sum[ch[p][1]])%P+w[val[p]])%P;

    }

    inline int wh(int p) {return p==ch[fa[p]][1];}

    inline void rotate(int p)

    {

        int q=fa[p],r=fa[q],w=wh(p);

        fa[p]=r; if(r) ch[r][wh(q)]=p;

        fa[ch[q][w]=ch[p][w^1]]=q;

        fa[ch[p][w^1]=q]=p;

        update(q),update(p);

    }

    void splay(int &rt,int p)

    {

        for(int q=fa[p];q;rotate(p),q=fa[p]) if(fa[q]) rotate(wh(p)^wh(q)?p:q);

        update(rt=p);

    }

    int pre(int rt,int x)

    {

        int r=0;

        for(int p=rt;p;p=ch[p][val[p]<x]) if(val[p]<x) r=p;

        return r;

    }

    void ins(int &rt,int p)

    {

        if(!rt) {rt=p; return;}

        int q=rt;

        while(ch[q][val[q]<val[p]]) q=ch[q][val[q]<val[p]];

        fa[ch[q][val[q]<val[p]]=p]=q;

        update(q); splay(rt,p);

    }

    int del(int &rt,int x)

    {

        if(x==0||!rt) return 0;

        int p=pre(rt,x+1); if(val[p]!=x) return 0;

        splay(rt,p);

        int chCnt=(ch[p][0]>0)+(ch[p][1]>0);

        if(chCnt==0) {rt=0; return p;}

        if(chCnt==1) {rt=ch[p][ch[p][1]>0],fa[rt]=0; return p;}

        int q=ch[p][0]; while(ch[q][1]) q=ch[q][1];

        splay(rt,q);

        fa[ch[q][1]=ch[p][1]]=q;

        fa[p]=ch[p][0]=ch[p][1]=0;

        update(q);

        return p;

    }

    inline void change(int &rt,int x1,int x2)

    {

        int p=del(rt,x1); if(!p) p=++cnt;

        fa[p]=ch[p][0]=ch[p][1]=0,siz[p]=1;

        val[p]=x2,sum[p]=w[x2];

        ins(rt,p);

    }

    info query(int rt,int x)

    {

        int c1=0,s1=0;

        for(int p=rt;p;p=ch[p][val[p]<x])

            if(val[p]<x) c1+=siz[p]-siz[ch[p][1]],s1=(s1+sum[p]-sum[ch[p][1]]+P)%P;

        return info(c1,s1,siz[rt]-c1,sum[rt]-s1);

    }

}

namespace outTr

{

    #define Ls (p<<1)

    #define Rs (p<<1|1)

    int rt[N<<2];

    int in(int L,int R,int p1,int p2) {return ((L<=p2&&p2<=R)<<1)|(L<=p1&&p1<=R);}

    void change(int p,int L0,int R0,int p1,int p2)

    {

        int inP=in(L0,R0,p1,p2);

        if(inP==1) inTr::change(rt[p],a[p1],a[p2]);

        else if(inP==2) inTr::change(rt[p],a[p2],a[p1]);

        if(L0==R0) return;

        int mid=L0+R0>>1;

        if(in(L0,mid,p1,p2)) change(Ls,L0,mid,p1,p2);

        if(in(mid+1,R0,p1,p2)) change(Rs,mid+1,R0,p1,p2);

    }

    int optL,optR;

    info query(int p,int L0,int R0,int x)

    {

        if(optL<=L0&&R0<=optR) return inTr::query(rt[p],x);

        int mid=L0+R0>>1; info res=info(0,0,0,0);

        if(optL<=mid) res=res+query(Ls,L0,mid,x);

        if(mid<optR) res=res+query(Rs,mid+1,R0,x);

        return res;

    }

}

inline void change(int p1,int p2) {outTr::change(1,1,n,p1,p2);}

inline info query(int L,int R,int x)

{

    outTr::optL=L,outTr::optR=R;

    return outTr::query(1,1,n,x);

}

int main()

{

    n=read(),m=read();

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        a[0]=read(),w[a[0]]=read();

        change(0,i); swap(a[0],a[i]);

    }

    int ans=init::calc();

    for(int i=1;i<=m;i++)

    {

        int p1=read(),p2=read();

        if(p1>p2) swap(p1,p2); else if(p1==p2) {printf("%d\n",ans); continue;}

        int x=a[p1],y=a[p2];

        info r1=query(p1+1,p2-1,x),r2=query(p1+1,p2-1,y);

        ans-=((lint)r1.c1*w[x]%P+r1.s1)%P; ans=(ans+P)%P;

        ans+=((lint)r1.c2*w[x]%P+r1.s2)%P; ans=ans%P;

        ans+=((lint)r2.c1*w[y]%P+r2.s1)%P; ans=ans%P;

        ans-=((lint)r2.c2*w[y]%P+r2.s2)%P; ans=(ans+P)%P;

        if(x<y) ans=(ans+w[x]+w[y])%P; else ans=(ans-w[x]-w[y]+P)%P;

        printf("%d\n",ans);

        change(p1,p2); swap(a[p1],a[p2]);

    }

    return 0;

}