【问题描述】
在一片草原上有N个兔子窝,每个窝里住着一只兔子,有M条路径连接这些窝。更特殊地是,至多只有一个兔子窝有3条或更多的路径与它相连,其它的兔子窝只有1条或2条路径与其相连。换句话讲,这些兔子窝之前的路径构成一张N个点、M条边的无向连通图,而度数大于2的点至多有1个。
兔子们决定把其中K个兔子窝扩建成临时避难所。当危险来临时,每只兔子均会同时前往距离它最近的避难所躲避,路程中花费的时间在数值上等于经过的路径条数。为了在最短的时间内让所有兔子脱离危险,请你安排一种建造避难所的方式,使最后一只到达避难所的兔子所花费的时间尽量少。

【输入】
第一行有3个整数N,M,K,分别表示兔子窝的个数、路径数、计划建造的避难所数。
接下来M行每行三个整数x,y,表示第x个兔子窝和第y个兔子窝之间有一条路径相连。任意两个兔子窝之间至多只有1条路径。

【输出】
一个整数,表示最后一只到达避难所的兔子花费的最短时间。

【输入输出样例1】

rabbit.in 
5 5 2
1 2
2 3
1 4
1 5
4 5

rabbit.out

1

【输入输出样例1说明】
在第2个和第5个兔子窝建造避难所,这样其它兔子窝的兔子最多只需要经过1条路径就可以到达某个避难所。

【数据规模与约定】
对于30%的数据,N≤15,K≤4;
对于60%的数据,N≤100;
对于100%的数据,1≤K≤N≤1,000,1≤M≤1,500

分析:很明显可以看出这道题要二分,最难的就是要怎么check?假设当前二分的答案是x,我一开始的思路是对于第i个点,将所有与它距离<=x的点打个标记,最后看看能不能有k个点上有所有点的标记.这样就要状压,不好做.换个思路,每个点能覆盖到的点数为2*x+1,处理一下把所有点覆盖需要的点数是不是<=k.可是直接这样处理也非常难,题目中还有一个条件没用上:只有一个度数≥3的点,其它的点的度数≤2,注意≤2这个条件,这说明了一个重要的信息:原图是有一些链和环构成的,都连在一个中心上.

如果没有环,只有链,就很好做了,设当前链的长度为cnt,那么覆盖这条链所需要的点数位cnt / (2*x + 1)上取整.这样我们在距中心点不超过x的一个点上建造一个避难所,把它覆盖到的点给删掉,这时一定会删掉根节点,那么剩下的就成了若干条链,就很好做了.为什么一定要覆盖中心呢?中心其实就相当于一个“中转站”,覆盖的时候经过这个中转站,剩下的距离每一步都能覆盖多个点,如果不经过中心点的话,每一步就只能覆盖一个点,而且这和之前的二分想法没区别,很难处理.

二分想不到如何check的时候,把题目中给的所有限制和人为的限制给列出来,如果不满足某种限制的情况很好求,就针对这个限制进行check,例如本题中的k个避难所.

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm> using namespace std; const int maxn = ; int n, m, k, head[maxn], to[maxn], nextt[maxn], tot = , du[maxn], s;
int d[maxn], vis[maxn], ans, cnt; queue <int> q; void add(int x, int y)
{
to[tot] = y;
nextt[tot] = head[x];
head[x] = tot++;
} void bfs()
{
q.push(s);
vis[s] = ;
d[s] = ;
while (!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = head[u]; i; i = nextt[i])
{
int v = to[i];
if (!vis[v])
{
vis[v] = ;
d[v] = d[u] + ;
q.push(v);
}
}
}
} void dfs(int x, int rest)
{
vis[x] = ;
if (!rest)
return;
for (int i = head[x]; i; i = nextt[i])
{
int v = to[i];
if (!vis[v])
dfs(v, rest - );
}
} void dfs2(int x)
{
cnt++;
vis[x] = ;
for (int i = head[x]; i; i = nextt[i])
{
int v = to[i];
if (!vis[v])
dfs2(v);
}
} bool check(int x)
{
for (int i = ; i <= n; i++)
{
if (d[i] <= x)
{
memset(vis, , sizeof(vis));
dfs(i, x);
int temp = ;
for (int j = ; j <= n; j++)
{
if (!vis[j])
{
cnt = ;
dfs2(j);
temp += cnt / (x * + );
if (cnt % (x * + ))
temp++;
}
}
if (temp <= k)
return true;
}
}
return false;
} int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for (int i = ; i <= m; i++)
{
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
du[x]++;
du[y]++;
add(x, y);
add(y, x);
}
s = ;
for (int i = ; i <= n; i++)
if (du[i] >= )
{
s = i;
break;
}
bfs();
int l = , r = n;
while (l <= r)
{
int mid = (l + r) >> ;
if (check(mid))
{
ans = mid;
r = mid - ;
}
else
l = mid + ;
}
printf("%d\n", ans); return ;
}

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