题目来源

最大流

最大流问题是网络流的经典类型之一，用处广泛，个人认为网络流问题最具特点的操作就是建反向边，这样相当于给了反悔的机会，不断地求增广路的，最终得到最大流

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<queue>

#include<string>

#include<fstream>

#include<vector>

#include<stack>

#include <map>

#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl

#define show(x,y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "

//#define LOCAL = 1;

using namespace std;

typedef long long ll;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

const ll mod = 1e6 + ;

const int Max = 1e5 + ;

struct Edge {

    int to, next, flow;    //flow记录这条边当前的边残量

}edge[Max << ];

int n, m, s, t;

int head[Max], tot;

bool vis[Max];

void init()

{

    memset(head, -, sizeof(head));tot = ;

}

void add(int u, int v, int flow)

{

    edge[tot].to = v;

    edge[tot].flow = flow;

    edge[tot].next = head[u];

    head[u] = tot++;

}

//向图中增加一条容量为exp的边（增广路）

int dfs(int u,int exp)

{

    if (u == t) return exp;            //到达汇点，当前水量全部注入

    vis[u] = true;                    //表示已经到了过了

    for(int i = head[u] ; i != -  ;i = edge[i].next)

    {

        int v = edge[i].to;

        if(!vis[v] && edge[i].flow > )

        {

            int flow = dfs(v, min(exp, edge[i].flow));

            if(flow > )            //形成了增广路

            {

                edge[i].flow -= flow;

                edge[i ^ ].flow += flow;

                return flow;

            }

        }

    }

    return ;                        //无法形成增广路的情况

}

//求最大流

int max_flow()

{

    int flow = ;

    while(true)

    {

        memset(vis, , sizeof(vis));

        int part_flow = dfs(s, inf);

        if (part_flow == ) return flow;

        flow += part_flow;

    }

}

int main()

{

#ifdef LOCAL

    freopen("input.txt", "r", stdin);

    freopen("output.txt", "w", stdout);

#endif

    while (scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t) != EOF)

    {

        init();

        for (int i = , u, v, flow;i <= m; i++)

        {

            scanf("%d%d%d", &u, &v, &flow);

            add(u, v, flow);add(v, u, );

        }

        printf("%d\n", max_flow());

    }

    return ;

}

最简单算法-Ford-Fulkerson

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<queue>

#include<string>

#include<fstream>

#include<vector>

#include<stack>

#include <map>

#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl

#define show(x,y) "["<<x<<","<<y<<"]"

//#define LOCAL = 1;

using namespace std;

typedef long long ll;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

const ll mod = 1e6 + ;

const int Max = 1e5 + ;

struct Edge {

    int to, next, flow;    //flow记录这条边当前的边残量

}edge[Max << ];

int n, m, s, t;

int head[Max], tot;

int dis[Max];

void init()

{

    memset(head, -, sizeof(head));tot = ;

}

void add(int u, int v, int flow)

{

    edge[tot].to = v;

    edge[tot].flow = flow;

    edge[tot].next = head[u];

    head[u] = tot++;

}

bool bfs() //判断图是否连通

{

    queue<int>q;

    memset(dis, -, sizeof(dis));

    dis[s] = ;

    q.push(s);

    while (!q.empty())

    {

        int u = q.front();q.pop();

        for (int i = head[u]; i != -; i = edge[i].next)

        {

            int v = edge[i].to;

            if (dis[v] == - && edge[i].flow > )        //可以借助边i到达新的结点

            {

                dis[v] = dis[u] + ;                    //求顶点到源点的距离编号

                q.push(v);

            }

        }

    }

    return dis[t] != -;                                //确认是否连通

}

int dfs(int u, int flow_in)

{

    if (u == t) return flow_in;

    int flow_out = ;                                    //记录这一点实际流出的流量

    for (int i = head[u]; i != -;i = edge[i].next)

    {

        int v = edge[i].to;

        if (dis[v] == dis[u] +  && edge[i].flow > )

        {

            int flow_part = dfs(v, min(flow_in, edge[i].flow));

            if (flow_part == )continue;                //无法形成增广路

            flow_in -= flow_part;                        //流出了一部分，剩余可分配流入就减少了

            flow_out += flow_part;                        //记录这一点最大的流出

            edge[i].flow -= flow_part;

            edge[i ^ ].flow += flow_part;                //减少增广路上边的容量，增加其反向边的容量

            if (flow_in == )

                break;

        }

    }

    return flow_out;

}

int max_flow()

{

    int sum = ;

    while (bfs())

    {

        sum += dfs(s, inf);

    }

    return sum;

}

int main() {

#ifdef LOCAL

    freopen("input.txt", "r", stdin);

    freopen("output.txt", "w", stdout);

#endif

    while (scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t) != EOF)

    {

        init();

        for (int i = , u, v, flow;i <= m; i++)

        {

            scanf("%d%d%d", &u, &v, &flow);

            add(u, v, flow);add(v, u, );

        }

        printf("%d\n", max_flow());

    }

    return ;

}

常用且高效的算法-Dinic

 二分图匹配

要解决这类问题，我们需要先了解什么是二分图？

二分图：一个图中的所有顶点可以分为两个集合 V,K ,其实两个集合内部的点彼此之间无边，如下图所示：（蓝色的点和红色的点分属于两个集合V,K)

然后我们回到这个题目上来，这个题目求的是最大可出战人数，实际上就是在二分图中找到两个集合中的最大匹配数，这类问题我们称之为二分图最大匹配数问题

属于网络流经典题目之一，下面说明一下建图的过程

1）由源点向集合V中每个点建一条容量为1的边

2）对于V，K集合之间存在的边e，v 为V中的点,k为K中的点，我们建一条容量为1的边，方向为 v --> k

3）由K中每个点向汇点建一条容量为1的边

当我们将图建好了后，我们求这个图的最大流，这个最大流即为二分图最大匹配数，下面展示一下建成的图：(S代表源点，T代表汇点，蓝色的边代表容量为1的边）

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<queue>

#include<string>

#include<fstream>

#include<vector>

#include<stack>

#include <map>

#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl

#define show(x,y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "

//#define LOCAL = 1;

using namespace std;

typedef long long ll;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

const ll mod = 1e6 + ;

const int Max = 1e6 + ;

struct Edge

{

    int to, next, flow;

}edge[Max << ];;

int n, m, a, b, s, t;

int head[Max], tot;

int dis[Max];

int ans;

bool vis[Max];

void init()

{

    memset(head, -, sizeof(head));tot = ;

    ans = ;

}

void add(int u, int v, int flow)

{

    edge[tot].to = v;

    edge[tot].flow = flow;

    edge[tot].next = head[u];

    head[u] = tot++;

}

bool bfs()

{

    memset(dis, -, sizeof(dis));

    dis[s] = ;

    queue<int>q;

    q.push(s);

    while (!q.empty())

    {

        int u = q.front();q.pop();

        for (int i = head[u]; i != -;i = edge[i].next)

        {

            int v = edge[i].to;

            if (dis[v] == - && edge[i].flow > )

            {

                dis[v] = dis[u] + ;

                if (v == t) return true;

                q.push(v);

            }

        }

    }

    return false;

}

int dfs(int u, int flow_in)

{

    if (u == t) return flow_in;

    int flow_out = ;

    for (int i = head[u]; i != -;i = edge[i].next)

    {

        int v = edge[i].to;

        if (dis[v] == dis[u] +  && edge[i].flow > )

        {

            int flow_part = dfs(v, min(flow_in, edge[i].flow));

            if (flow_part == ) continue;

            flow_in -= flow_part;

            flow_out += flow_part;

            edge[i].flow -= flow_part;

            edge[i ^ ].flow += flow_part;

            if (flow_in == )break;

        }

    }

    return flow_out;

}

int max_val()

{

    int sum = ;

    while (bfs())

    {

        sum += dfs(s, inf);

    }

    return sum;

}

int main()

{

#ifdef LOCAL

    freopen("input.txt", "r", stdin);

    freopen("output.txt", "w", stdout);

#endif

    while (scanf("%d%d", &m, &n) != EOF)

    {

        init();

        s = , t = n + ;

        for (int i = ;i <= m;i++)

        {

            add(s, i, );add(i, s, );    //由源点向外籍飞行员建边

        }

        for (int i = m + ; i <= n;i++)

        {

            add(i, t, );add(t, i, );

        }

        while (scanf("%d%d", &a, &b) != EOF && a != - && b != -)

        {

            add(a, b, );add(b, a, );

        }

        printf("%d\n", max_val());

        for (int u = ;u <= m;u++)

        {

            for (int i = head[u]; i != -;i = edge[i].next)

            {

                if (edge[i].flow ==  && edge[i].to != s && edge[i].to != t)

                {

                    printf("%d %d\n", u, edge[i].to);

                }

            }

        }

    }

    return ;

}

飞行员配对方案-Dinic

 最小费用最大流

这类题目相比于最大流问题新增了每天边单位流量的价格，问在最大流的情况下求出最小的费用。

这类题目和最大流很想，不过也有不小区别，对于这类问题，我们为每条边建的反边的价格是每天边的相反数，如图

然后我们的算法也不再是Dinic算法了，而是用spfa或者dijkstra

#pragma GCC optimize(2)

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<queue>

#include<string>

#include<fstream>

#include<vector>

#include<stack>

#include <map>

#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl

#define show(x,y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "

#define LOCAL = 1;

using namespace std;

typedef long long ll;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

const ll mod = 1e9 + ;

const int Max = 5e3 + ;

struct Edge

{

    int to, rev;                    //rev记录反向边

    int flow, cost;;

};

int n, m, k;

vector<Edge>edge[Max << ];

int h[Max];                            //每个结点的势

int dis[Max];

int pre_node[Max], pre_edge[Max];    //前驱结点和对应边

void add(int u, int v, int flow, int cost)

{

    edge[u].push_back({ v,(int)edge[v].size(),flow,cost });

    edge[v].push_back({ u,(int)edge[u].size() - ,,-cost });

}

void min_cost_flow(int s, int t, int& min_cost, int& max_flow)

{

    fill(h + , h +  + n, );

    min_cost = max_flow = ;

    int tot = inf;                            //源点流量无限

    while (tot > )

    {

        priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int> >, greater<pair<int, int> > >q;

        memset(dis, inf, sizeof(dis));

        dis[s] = ;q.push({ ,s });

        while (!q.empty())

        {

            int u = q.top().second;

            int dist = q.top().first;

            q.pop();

            if (dis[u] < dist)continue;        //当前的距离不是最近距离

            for (int i = ;i < edge[u].size(); i++)

            {

                Edge &e = edge[u][i];

                if (edge[u][i].flow >  && dis[e.to] > dis[u] + e.cost + h[u] - h[e.to])

                {

                    dis[e.to] = dis[u] +e.cost + h[u] - h[e.to];

                    pre_node[e.to] = u;

                    pre_edge[e.to] = i;

                    q.push({ dis[e.to],e.to });

                }

            }

        }

        if (dis[t] == inf)break;            //无法增广了，就是找到答案了

        for (int i = ;i <= n;i++) h[i] += dis[i];

        int flow = tot;                        //求这一增广路径的流量

        for (int i = t; i != s; i = pre_node[i])

            flow = min(flow, edge[pre_node[i]][pre_edge[i]].flow);

        for (int i = t; i != s; i = pre_node[i])

        {

            Edge& e = edge[pre_node[i]][pre_edge[i]];

            e.flow -= flow;

            edge[i][e.rev].flow += flow;

        }

        tot -= flow;

        max_flow += flow;

        min_cost += flow * h[t];

    }

}

int main()

{

#ifdef LOCAL

    //freopen("input.txt", "r", stdin);

    //freopen("output.txt", "w", stdout);

#endif

    int s, t;

    while (scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t) != EOF)

    {

        for (int i = , u, v, flow, cost;i <= m;i++)

        {

            scanf("%d%d%d%d", &u, &v, &flow, &cost);

            add(u, v, flow, cost);

        }

        int min_cost, max_flow;

        min_cost_flow(s, t, min_cost, max_flow);

        printf("%d %d\n", max_flow, min_cost);

    }

    return ;

}

无负环图中可用的算法-dijkstra（这里给出的是可以适用于有负环的

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<cstring>

#include<queue>

#include<string>

#include<fstream>

#include<vector>

#include<stack>

#include <map>

#include <iomanip>

#define bug cout << "**********" << endl

#define show(x,y) cout<<"["<<x<<","<<y<<"] "

//#define LOCAL = 1;

using namespace std;

typedef long long ll;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

const ll mod = 1e9 + ;

const int Max = 1e5 + ;

struct Edge

{

    int to, next;

    int flow, cost;

}edge[Max << ];

int n, m, s, t;

int head[Max], tot;

int dis[Max];

int pre[Max];            //记录增广路径此点的前一天边

bool vis[Max];

void init()

{

    memset(head, -, sizeof(head));tot = ;

}

void add(int u, int v, int flow, int cost)

{

    edge[tot].to = v;

    edge[tot].flow = flow;

    edge[tot].cost = cost;

    edge[tot].next = head[u];

    head[u] = tot++;

    edge[tot].to = u;

    edge[tot].flow = ;

    edge[tot].cost = -cost;

    edge[tot].next = head[v];

    head[v] = tot++;

}

bool spfa(int s, int t)

{

    memset(dis, inf, sizeof(dis));

    memset(vis, , sizeof(vis));

    memset(pre, -, sizeof(pre));

    queue<int>q;

    q.push(s);dis[s] = ;vis[s] = true;

    while (!q.empty())

    {

        int u = q.front();q.pop();

        vis[u] = false;

        for (int i = head[u]; i != -; i = edge[i].next)

        {

            int v = edge[i].to;

            if (edge[i].flow >  && dis[v] > dis[u] + edge[i].cost)

            {

                dis[v] = dis[u] + edge[i].cost;

                pre[v] = i;

                if (!vis[v])

                {

                    vis[v] = true;q.push(v);

                }

            }

        }

    }

    return pre[t] != -;

}

void min_cost_max_flow(int s, int t, int& max_flow, int& min_cost)

{

    max_flow = ;

    min_cost = ;

    while (spfa(s, t))

    {

        int flow = inf;

        for (int i = pre[t]; i != -; i = pre[edge[i ^ ].to])    //沿增广路回溯edge[i^1]即为其反边

        {

            flow = min(flow, edge[i].flow);

        }

        for (int i = pre[t]; i != -; i = pre[edge[i ^ ].to])

        {

            edge[i].flow -= flow;

            edge[i ^ ].flow += flow;

            min_cost += flow * edge[i].cost;

        }

        max_flow += flow;

    }

}

int main()

{

#ifdef LOCAL

    freopen("input.txt", "r", stdin);

    freopen("output.txt", "w", stdout);

#endif

    while (scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t) != EOF)

    {

        init();

        for (int i = , u, v, flow, cost;i <= m;i++)

        {

            scanf("%d%d%d%d", &u, &v, &flow, &cost);

            add(u, v, flow, cost);

        }

        int max_flow = , min_cost = ;

        min_cost_max_flow(s, t, max_flow, min_cost);

        printf("%d %d\n", max_flow, min_cost);

    }

    return ;

}

常用且比较高效的算法-spfa

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  2. P3381 【模板】最小费用最大流

    P3381 [模板]最小费用最大流 题目描述 如题,给出一个网络图,以及其源点和汇点,每条边已知其最大流量和单位流量费用,求出其网络最大流和在最大流情况下的最小费用. 输入输出格式 输入格式: 第一行 ...

  3. 洛谷P3381 最小费用最大流模板

    https://www.luogu.org/problem/P3381 题目描述 如题,给出一个网络图,以及其源点和汇点,每条边已知其最大流量和单位流量费用,求出其网络最大流和在最大流情况下的最小费用 ...

  4. P3381 【模板】最小费用最大流（MCMF）

    P3381 [模板]最小费用最大流 题目描述 如题,给出一个网络图,以及其源点和汇点,每条边已知其最大流量和单位流量费用,求出其网络最大流和在最大流情况下的最小费用. 输入格式 第一行包含四个正整数N ...

  5. Luogu P3381 (模板题) 最小费用最大流

    <题目链接> 题目大意: 给定一张图,给定条边的容量和单位流量费用,并且给定源点和汇点.问你从源点到汇点的最带流和在流量最大的情况下的最小费用. 解题分析: 最小费用最大流果题. 下面的是 ...

  6. P3381 【模板】最小费用最大流 题解

    CSDN同步 原题链接 前置知识: 从三种算法剖析网络流本质 简要题意: 给定网络图,求图的最大流,以及流量为最大流时的最小费用. 现在假设你们看了那篇网络流博客之后,所有人都会了 \(\text{E ...

  7. 【网络流#2】hdu 1533 - 最小费用最大流模板题

    最小费用最大流,即MCMF(Minimum Cost Maximum Flow)问题 嗯~第一次写费用流题... 这道就是费用流的模板题,找不到更裸的题了 建图:每个m(Man)作为源点,每个H(Ho ...

  8. 洛谷P3381 - 【模板】最小费用最大流

    原题链接 题意简述 模板题啦~ 题解 每次都以费用作为边权求一下最短路,然后沿着最短路增广. Code //[模板]最小费用最大流 #include <cstdio> #include & ...

  9. poj2135最小费用最大流经典模板题

    Farm Tour Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 13509   Accepted: 5125 Descri ...

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