【题解】洛谷P731[NOI1999] 生日蛋糕+数据加强版

前言：阅读理解+剪枝+头脑风暴

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该代码可以通过T148457 生日蛋糕加强版 和 P1731 [NOI1999] 生日蛋糕.

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P1731 [NOI1999] 生日蛋糕

题目背景

数据加强版 link

题目描述

7 月 17 日是 Mr.W 的生日，ACM-THU 为此要制作一个体积为 \(N\pi\) 的 \(M\) 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第 \(i\)（\(1 \leq i \leq M\)）层蛋糕是半径为 \(R_i\)，高度为 \(H_i\) 的圆柱。当 \(i \lt M\) 时，要求 \(R_i \gt R_{i+1}\) 且 \(H_i \gt H_{i+1}\)。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积 \(Q\) 最小。

请编程对给出的 \(N\) 和 \(M\)，找出蛋糕的制作方案（适当的 \(R_i\) 和 \(H_i\) 的值），使 \(S=\dfrac{Q}{\pi}\) 最小。

（除 \(Q\) 外，以上所有数据皆为正整数）

输入格式

第一行为一个整数 \(N\)（\(N \leq 2 \times 10^4\)），表示待制作的蛋糕的体积为 \(N\pi\)。

第二行为 \(M\)（\(M \leq 15\)），表示蛋糕的层数为 \(M\)。

输出格式

输出一个整数 \(S\)，若无解，输出 \(0\)。

输入输出样例 #1

输入 #1

100
2

输出 #1

68

思路

我们先来解决 \(S=\dfrac{Q}{\pi}\)，那么众所周知，\(Q=\) 所有圆环（柱）的上表面面积 \(+\) 侧面面积 ,那么我们看下图：

图源侵删

该图中的黑色部分就是我们要计算的圆环（柱）的上表面面积，我们将整合图形从上到下拍扁，就得到了一个圆柱，这个圆柱的上表面面积（也就是一个圆）就是图中黑色部分的面积。(我们设 \(R_i\) 和 \(H_i\) 为第 \(i\) 层的半径和体积)

那么第 \(1\sim i\) 层的表面积

\[Q=\sum2\pi R_{i}H_{i}+\pi R_{M}^{2}=\pi\left(\sum2R_{i}H_{i}+R_{M}^{2}\right)=\pi S
\]

\[Q=\pi S
\]

所以说 \(S\) 就是去掉 \(\pi\) 后的图形表面积。也就是 \(\sum2R_{i}H_{i}+R_{M}^{2}\)

本题就转化成了求该图形的表面积除 \(\pi\) 后的值（是整数）。

剪枝

我们设最上层的编号为 \(1\)，当前 \(DFS\) 的层数为 \(u\) ，总层数为 \(m\)，如下图（\(u+1\) 不一定等于 \(m\)）：

优化搜索顺序

• 我们从下向上搜索，因为下层面积大，分支少。
• 每一层的 \(R\) 和\(H\) 从大到小枚举，因为开始的时候枚举大的数据分支就会变小，搜到数据时累计的循环次数就会比先暴搜小分支的时候小。

上下界剪枝 (接下来所有公式和等式均忽略 \(\pi\))

现在我们要确定 \(R_u\) 和 \(H_u\) 的范围。

• 最小值：因为当前再第 \(u\) 层，第 \(1\) 层的最小值为 \(1\),第 \(2\) 层的最小值为 \(2\),以此类推，第 \(u\) 层的 \(R_u\) 和 \(H_u\) 的最小值为 \(u\)。
• 最大值：
  • 我们当前已经确定了第 \(m\sim u+1\) 层的 \(R\) 和 \(H\),我们设第 \(m\sim u+1\) 层的体积和为 \(v\) ，那第 \(1\sim u\) 层的体积和为 \(n-v\) ,那当前这一层的体积肯定小于等于还未计算所有体积，即 \(R_u^2H_u\le n-v\)。既然我们要计算 \(R_u\) 的最大值，那么我们不妨将 \(H_u\) 设为 \(1\) ,即 \(R_u^2\le n-v\)，\(R_u\le \sqrt{n-v}\).
  • 根据题目内容，\(R_i >R_{i+1}\) ，因为我们是反向遍历的，所以就是 \(R_u < R_{u+1}\) 。\(H_u\) 同理.

\[R\in [u,min(R_{u+1}-1,\sqrt{n-v})]
\]

\[H\in [u,min(H_{u+1}-1,\frac{n-v}{R_{u}\times R_{u}})]
\]

可行性剪枝

我们预处理出 \(1\sim m\) 层的最小体积 \(minv[i]\) 表示第 \(1\sim i\) 层的最小体积，如果当前已经算出来的 \(u+1\sim m\) 层的体积 \(v\) 加上 \(minv[u]\) 大于总体积 \(n\) 的话，就直接 \(return\) 。

最优化剪枝

我们预处理出 \(1\sim m\) 层的最小表面积 \(mins[i]\) 表示第 \(1\sim i\) 层的最小表面积，如果当前已经算出来的 \(u+1\sim m\) 层的表面积 \(s\) 加上 \(mins[u]\) 大于当前已经搜到的合法答案的最小资 \(ans\) 的话，就直接 \(return\) 。

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图源侵删

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最优化剪枝 Plus (遇事不明请看上图)

\(1\sim u\) 层的最小侧面积和还可以用剩余体积 \(n-v\) 来估价。

\(1\sim u\) 层的体积和为： \(\sum_{i=1}^{{u}}{R}_{{i}}^{2}*{H}_{{i}}=n-v\),

\(1\sim u\) 层的侧面积和 \(2\sum _{{i= 1}}^{{u} }R_{{i} }* H_{{i} }\)

提公因式 \(R_u\) 得:

\[\frac 2{{R_{u}} }\sum _{{i= 1}}^{{u} }R_{{i} }* R_{{u} }* H_{{i} }
\]

因为我们是使用 \(\sum_{i=1}^{u}\) 遍历 \(1\sim u\) 中的所有数，所以肯定保证 \(i \le u\).这里我也理解了好长时间，\(\sum_{i=1}^{u}\) 等同于：for(int i = 1;i <= u;i++) ,所以在 \(for\) 里面执行的时候 \(i\) 一定 \(\le u\). 我们把原式中的的一个 \(R_u\) 换成 \(R_i\)，这个式子肯定是小于等于没换的式子的。即：

\[\frac 2{{R_{u}} }\sum _{{i= 1}}^{{u} }R_{{i} }* R_{{u} }* H_{{i} }\geq \frac 2{{R_{u}} }\sum _{{i= 1}}^{{u} }R_{{i} }^{2}* H_{{i} }
\]

还记得 \(1\sim u\) 层的体积和吗？\(\sum_{i=1}^{{u}}{R}_{{i}}^{2}*{H}_{{i}}=n-v\)

将 \(\frac 2{{R_{u}} }\sum _{{i= 1}}^{{u} }R_{{i} }^{2}* H_{{i} }\) 中的 \(\sum_{i=1}^{{u}}{R}_{{i}}^{2}*{H}_{{i}}\) 替换为 \(n-v\) ,就变成了 \(\frac{2(n-v)}{R_{u}}\)。

这时你会发现 \(R_u\) 是未知的! 我们将 \(R_u\) 替换为 \(R_{u+1}\) 这时候，\(\frac{2(n-v)}{R_{u+1}}<\frac{2(n-v)}{R_{u}}\)

所以，如果 \(s+\frac{2({n}-{v})}{{R}_{u+1}}>ans\),既然小的那个式子 \(+s\) 都比当前的最优解差，那么 \(s+\frac{2(n-v)}{R_{u}}\) 一定大于当前的最优解 \(ans\),那么剪枝。

该估价不等式类似 \(A^*\)算法中的估价函数思想。（\(\frac{2(n-v)}{R_{u+1}}+s\) 类似于估价函数）

数据梳理

• 体积： \(n=\sum_{i=1}^mR_i^2H_i\)

• 面积：\(S=\sum2R_iH_i+R_M^2\)

• 剪枝：

  • 1.优化搜索顺序
  • 2.上下界剪枝
    • \[R\in [u,min(R_{u+1}-1,\sqrt{n-v})]
      \]
    • \[H\in [u,min(H_{u+1}-1,\frac{n-v}{R_{u}\times R_{u}})]
      \]
  • 3.可行性剪枝（体积和越界）
    • \[v+minv[u] > n
      \]
  • 4.最优性剪枝（面积和更差）
    • \[s+mins[u]>ans
      \]
  • 最优性剪枝（面积和更差）
    • \[s+\frac{2(n-v)}{R_{u+1}} > ans
      \]

• 为什么要保留两个面积和更差的剪枝？

• 【Powered By Doubao】

• 第4、5个剪枝虽都围绕表面积优化，但二者存在本质差异与互补性，具体原因如下：

1. 原理不同，覆盖不同逻辑分支

• 第4个剪枝：基于预处理的固定值 mins[u]（前 u 层最小侧面积和，每层取半径、高度为层号时的侧面积累加）。它是一种“静态通用下限”，只要当前表面积 s + mins[u] > ans，就说明即使剩余层取理论最小侧面积，总表面积仍超最优解，直接剪枝。
• 第5个剪枝：通过剩余体积 n - v 动态推导侧面积下限，结合半径关系（如 R_{u+1}）。它是“动态实时下限”，利用剩余体积的分配逻辑，推导出侧面积必然超标的情况，剪枝与剩余体积强相关的无效分支。

2. 场景互补，提升剪枝全面性

• 第4个剪枝：处理“仅侧面积部分就已超最优解”的通用场景，不依赖剩余体积的具体数值，通过预处理数组快速判断。
• 第5个剪枝：处理“因剩余体积分配导致侧面积超标”的特殊场景，利用体积与半径的数学关系，覆盖第4个剪枝未涉及的逻辑。

3. 效率互补，减少无效计算

• 单独使用第4个剪枝，无法利用剩余体积的动态信息，可能遗漏与体积相关的无效分支；单独使用第5个剪枝，缺少对通用最小侧面积的快速判断。
• 两者结合，从“固定预处理下限”和“动态体积推导下限”两个维度，更全面地过滤无效搜索路径，大幅减少DFS的计算量，提升算法效率。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Inf = 1e9;
int minv[30],mins[20],n,m;
int ans = Inf;
void dfs(int u,int r,int h,int v,int s){
	if(u == 0){
		if(s < ans and v == n) ans = s;
		return ;
	}
	if(v+minv[u] > n) return;
	if(s+mins[u]>=ans) return;
	if(s+2*(n-v)/r >= ans) return;
	for(int i = min(r-1,(int)sqrt(n-v));i >= u;i--){
		for(int j = min(h-1,(n-v)/(i*i));j >= u;j--){
			dfs(u-1,i,j,v+i*i*j,s+2*i*j+(u==m?i*i:0));
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i = 1;i <= m;i++){
		mins[i] = mins[i-1]+2*i*i;
		minv[i] = minv[i-1]+i*i*i;
	}
	dfs(m,Inf,Inf,0,0);//从下向上遍历

	if(ans == Inf) puts("0");
	else cout<<ans<<endl;
}

注释版本：