51Nod 最大公约数之和V1,V2,V3;最小公倍数之和V1,V2,V3

1040 最大公约数之和

给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6

1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

输入

1个数N(N <= 10^9)

输出

公约数之和

输入样例

6

输出样例

15

题解

\[\sum_{i=1}^n\gcd(i,n)=\sum_{d|n}d\varphi(n)
\]

暴力搞就行了。

1188 最大公约数之和 V2

给出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最大公约数之和。

相当于计算这段程序（程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数）：

G=0
for i=1 to N
    for j=i+1 to N
        G+=gcd(i,j)

输入

第1行：1个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)

第2 - T + 1行：每行一个数N。(2 <= N <= 5000000)

输出

共T行，输出最大公约数之和。

输入样例

3

10

100

200000

输出样例

67

13015

143295493160

1237 最大公约数之和 V3

给出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最大公约数之和。

相当于计算这段程序（程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数）：

由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

G=0
for i=1 to N
    for j=1 to N
        G = (G + gcd(i,j)) mod 1000000007;

输入

输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)

输出

输出G Mod 1000000007的结果。

输入样例

100

输出样例

31080

可以看出来，T2，T3转化一下就只有数据范围不同。

题解

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\gcd(i,j)\\
=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\
=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{d'|\gcd(i,j)}\mu(d)\\
=\sum_{d=1}^nd\sum_{d'=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(d')\lfloor\frac n{dd'}\rfloor^2
\]

整除分块两次，区别在于第二次。

• V2可以直接线性筛求出\(\mu\)前缀和。
• V3必须使用杜教筛，让\(\mu * I\)即可。

1363 最小公倍数之和

1.5 秒 131,072.0 KB 160 分 6 级题

给出一个n，求1-n这n个数，同n的最小公倍数的和。

例如：n = 6，1,2,3,4,5,6 同6的最小公倍数分别为6,6,6,12,30,6，加在一起 = 66。

由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

输入

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 50000)

第2 - T + 1行：T个数A[i](A[i] <= 10^9)

输出

共T行，输出对应的最小公倍数之和

输入样例

3

5

6

9

输出样例

55

66

279

---

这题跟[SPOJ LCMsum](https://www.cnblogs.com/autoint/p/9892650.html)是一样的，只不过数据范围不一样，所以推到后面的操作不一样。
## [Star_Feel](https://www.cnblogs.com/Never-mind/p/9882196.html)的题解
原题相当于求$\sum_{i=1}^{n}\frac{i*n}{gcd(i,n)}$

先枚举\(d=\gcd(i,n)\)，然后化简得到

\[n*\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i[\gcd(i,\frac{n}{d})=1]
\]

相当于求\(1\)到\(n-1\)中，与\(n\)互质的数和，设\(y<x\)，如果\(\gcd(y,x)=1\)，那么\(\gcd(x-y,x)=1\)，两式的贡献就是\(x\)了

所以\(1\)到\(n-1\)中，与\(n\)互质的数和为\(\frac{\phi(n)*n}{2}\)，特殊的，如果\(n=1,2\)，则和为\(1\)

那么原式就等于

\[n*\sum_{d|n且d不为n}\frac{\frac{n}{d}*\phi(\frac{n}{d})}{2}+1
\]

再化简得到

\[n+\frac{n}{2}\sum_{d|n且d>1}d*phi(d)
\]

这样，这个式子就变成\(O(\sqrt{n})\)，但是多组数据仍会超时

实际上我们将\(n\)质因数分解得到\(n=\prod_{i=1}^{x}p[i]^a[i]\)

因为\(p[i]\)两两互质，所以可以转化为

\[n+\prod_{i=1}^{x}\sum_{j=0}^{a[i]}\phi(p[i]^j)*p[i]^j
\]

根据欧拉函数的性质可以得到

\[n+\prod_{i=1}^{x}1+\sum_{j=1}^{a[i]}(p[i]-1)*p[i]^{2j-1}
\]

再根据等比数列求和公式得到

\[n+\prod_{i=1}^{x}1+(p[i]-1)*\frac{p[i]^{2*a[i]+1}-p[i]}{p[i]^2-1}\\
=n+\prod_{i=1}^{x}1+\frac{p[i]^{2*a[i]+1}-p[i]}{p[i]+1}
\]

然后线筛素数加速质因数分解就可以过了，记得最后处理\(1,2\)的情况

1190 最小公倍数之和 V2

给出2个数a, b，求LCM(a,b) + LCM(a+1,b) + .. + LCM(b,b)。

例如：a = 1, b = 6，1,2,3,4,5,6 同6的最小公倍数分别为6,6,6,12,30,6，加在一起 = 66。

由于结果可能很大，输出Mod 10^9 + 7的结果。（测试数据为随机数据，没有构造特别坑人的Test）

输入

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)

第2 - T + 1行：每行2个数a, b，中间用空格分隔(1 <= a <= b <= 10^9)

输出

共T行，输出对应的最小公倍数之和Mod 10^9 + 7的结果。

输入样例

3

1 6

10 15

41 90

输出样例

66

675

139860

Cold_Chair的题解

\[ans = \sum_{i = a}^b \textrm{lcm}(i) \\
= b*\sum_{d | b} \sum_{i = \lfloor{ {a} \over {d}}\rfloor}^{\lceil{ {b} \over {d}}\rceil} i * [\gcd(i, { {b} \over {d}}) = 1] \\
= b*\sum_{d | b} \sum_{i = \lfloor{ {a} \over {d}}\rfloor}^{\lceil{ {b} \over {d}}\rceil} i * \sum_{d' | \gcd(i, { {b} \over {d}})} μ(d') \\
= b*\sum_{d | b} \sum_{d' | { {b} \over {d}}} μ(d') * d' * \sum_{i = \lfloor{ {b} \over {d }}\rfloor}^{\lceil{ {a} \over {d}}\rceil}i*[d' | i] \\
= b*\sum_{d | b} \sum_{d' | { {b} \over {d}}} μ(d') * d' * \sum_{i = \lfloor{ {b} \over {d*d' }}\rfloor}^{\lceil{ {a} \over {d * d'}}\rceil}i \\
= b*\sum_{d | b} \sum_{d' | { {b} \over {d}}} μ(d') * d' * (\lfloor{ {b} \over {d*d' }}\rfloor - \lceil{ {a} \over {d * d'}}\rceil + 1) * (\lfloor{ {b} \over {d*d' }}\rfloor + \lceil{ {a} \over {d * d'}}\rceil) / 2
\]

设$T = d * d’ $

\[= b*\sum_{T | b}(\lfloor{ {b} \over {T}}\rfloor - \lceil{ {a} \over {T}}\rceil + 1) * (\lfloor{ {b} \over {T}}\rfloor + \lceil{ {a} \over {T}}\rceil) / 2 * \sum_{d | T} μ(d) * d
\]

我们观察一下$\sum_{d | T} μ(d) * d \(
狄利克雷卷积做了这么多，轻松可得:
若\)T = \prod{p_i^{q_i}}$,那么

\[\sum_{d | T} μ(d) * d = \prod{1-p_i}
\]

1238 最小公倍数之和 V3

出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最小公倍数之和。

相当于计算这段程序（程序中的lcm(i,j)表示i与j的最小公倍数）：

由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

G=0
for i=1 to N
    for j=1 to N
        G = (G + lcm(i,j)) mod 1000000007;

输入

输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)

输出

输出G Mod 1000000007的结果。

输入样例

4

输出样例

72

题解

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\textrm{lcm}(i,j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{ij}{\gcd(i,j)}\\
=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}ij[\gcd(i,j)=1]\\
=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}ij\sum_{d'|\gcd(i,j)}\mu(d)\\
=\sum_{d=1}^nd\sum_{d'=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(d')(d')^2\left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n{dd'}\rfloor}i\right)^2
\]

然后就变成了LG3768 简单的数学题，外面多套了一个整除分块，不过不影响复杂度。（毒瘤）