什么是Monad？

为了理解什么是Monad，最好需要了解什么是Monoid。这两篇互为姐妹篇，因为Monad的定义是：A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what's the problem?

　　what's the problem？其实问题大了去了，这个定义中首先我们知道monad是一个特殊的monoid，特殊在哪里？是在endofunctor这个范畴里，正如书桌比桌子特殊，特殊在书桌用在看书读书这个范围里。所以，我们需要首先了解什么是endofunctor，而endofunctor是end of functor的组合，还得首先了解什么是functor函子。

自函子endofunctor

　　一个functor是一个多态数据类型，支持用函数对数据内容的操作，这非常类似面向对象概念中的对象，一个对象也是由数据和方法组成，方法是操作数据的函数。所以，当我们认为世界上每个都是对象时，也可以认为每个都是functor。

　　一个functor是将一个范畴(广群)转换到另外一个范畴(广群)，而endofunctor则是转换的源范畴和目标范畴是同一个，endofunctor是functor的特殊。

　　我们知道：一个范畴是由三个部分组成: 元素对象、态射（又称为箭头）以及二元运算。如果这个范畴又满足结合律，那么它是一个半群，如果又满足幺元，那么是幺半群，也就是Monoid。

　　因此，functor实际是将一个Monoid中的元素对象映射到另外一个Monoid的元素对象，态射也是这么映射。而自函子endofunctor映射的这两个Monoid是同一个。　

　　在Haskell中，一个endofunctor被称为"the Hask category,"，是Hask范畴。Hask范畴中的元素对象是Haskell的类型，态射箭头是Haskell的函数。

　

类型

　　类型是值的集合，比如类型Bool(Haskell核心类型是大写开始)是一个有两个元素的集合，这两个元素 是True和False，类型Char是所有Unicode字符如'a'或'b'的集合。

　　函数也是有类型的，函数的类型是其输入输出的综合，比如f函数是输入类型A到输出类型B：B f(A a); 在 Haskell中是如下表达：

f ∷ A → B

　　因此区别两个函数的不同，我们可以从其输入类型和输出类型上区别。

　　函子functor是比函数更高阶的函数，函子是作用于两个范畴之间的函数，但是根本上也是一个函数，因此函子的类型与上面的函数类型差不多。假设两个范畴是 C和D, 其函函子是：

functor F: C -> D

　

函子functor原理

　　函数组合的方式有其特殊地方，这个特殊主要是由于我们组合的对象是函数，如果组合的对象是整数类型，两个整数组合成一个整数，这没有问题，但是你不能将两个函数类型组合起来还是和原来函数类型一样。比如我们将两个f函数f ∷ A → B组合起来，就不会得到还是A → B。

　　函子functor是比函数更高阶的函数，函子是作用于两个范畴之间的函数，可以简单认为是两个集合之间的映射。范畴的映射转换需要转换其中的元素和态射。

　　假设两个范畴是 C和D, 有一个函子functor F: C -> D ，这种写法类似函数写法，但是因为函子是范畴的函数，所以，其工作原理是进入范畴C和D内部，而范畴是由元素对象和态射箭头组成，因此函子就要分别作用于元素对象和态射箭头。

　　映射元素对象：C中的任何对象A转变成了D中的F(A)；
　　映射态射箭头：C中的态射f: A -> B转变成了D中的F(f): F(A) -> F(B) 。  
　　(组合箭头和元箭头映射这里省略)

http://www.jdon.com/idea/monad.html