【最大M子段和】dp + 滚动数组

题目描述

给定 n 个数求这 n 个数划分成互不相交的 m 段的最大 m 子段和。

给出一段整数序列 A1，A2，A3，A4，...，Ax，...，An ,其中 1≤x≤n≤1,000,000, -32768≤Sx≤32767。

我们定义一种函数 sum(i,j)=Ai + ... + Aj (1≤i≤j≤n，且Ai～Aj 是连续的数)。

现在，我们得到一个正整数 m（1≤x≤m≤30），你的工作是寻找 m 对 i 与 j。这 m 对 i 和 j 满足以下条件：
  sum(i1,j1)+sum(i2,j2)+sum(i3,j3)+...+sum(im,jm)在这个序列中最大。
注意：任意两区间[ix,jx]和[iy,jy]的交集均为空集。

请你求出：最大的 sum(i1,j1)+sum(i2,j2)+sum(i3,j3)+...+sum(im,jm)是多少？

输入格式

第一行两个整数 n，m 。
第二行由空格隔开的 n 个整数，即 A1～An 。

输出格式

请输出我们定义的：sum(i1,j1)+sum(i2,j2)+sum(i3,j3)+...+sum(im,jm)的最大值，即最大的 m 子段和。

样例数据 1

输入

3 1 
1 2 3

输出

6

样例数据 2

输入

6 2 
-1 4 -2 3 -2 3

输出

8

题目分析

形如“求将x，分成y份的最*值”问题，通常dp都为 f[j][i]，表示将前j个元素分成i份的最*值。

这道题也一样：f[j][i]如上所述，对于新加入的元素，有两种决策：

1. 加到上一次的最后一段。
2. 独立成段。

　　转移方程就为：$f[j][i] = max(f[j - 1][i] + val[i], max_{k = 1}^{j - 1}\{f[k][i - 1]\} + val[i])$　　

　　稍微计算一下，会发现这样的空间已经报表。接下来就是滚动数组登场了。

　　可以发现，转移方程中的j这一维总是从上一次的j-1转移，而i不变，而且f[j - 1][k]也只需要上一次的最大值即可，那么就可以使用滚动数组进行如下优化：

　　1. 去掉i这一维， 并把i这一维提到外循环->保证j-1到j都是i这一维。 数组只需要f[N]

　　2.用mx[j - 1]来表示$max_{k = 1}^{j - 1}\{f[k][i - 1]\} $， 每次内循环（j）更新， 以供下一个外循环（i）使用。

　　于是转移变为:

for(int i = ; i <= m; i++){
        ll tmp = -oo;
        for(int j = i; j <= n; j++){
            f[j] = max(f[j - ] + val[j], mx[j - ] + val[j]);
            tmp = max(tmp, f[j - ]);
            mx[j - ] = tmp;
        }
    }

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;

const int N = 1e6 + , oo = 0x7fffffff;
int n, m;
typedef long long ll;
ll f[N], mx[N], val[N];

inline ll read(){
    ll i = , f = ; char ch = getchar();
    for(; (ch < '' || ch > '') && ch != '-'; ch = getchar());
    if(ch == '-') f = -, ch = getchar();
    for(; ch >= '' && ch <= ''; ch = getchar())
        i = (i << ) + (i << ) + (ch - '');
    return i * f;
}

inline void wr(ll x){
    if(x < ) putchar('-'), x = -x;
    if(x > ) wr(x / );
    putchar(x%+'');
}

int main(){
    n = read(), m = read();
　　 memset(f, -127, sizeof f);
    for(int i = ; i <= n; i++) val[i] = read();
    for(int i = ; i <= m; i++){
        ll tmp = -oo;
        for(int j = i; j <= n; j++){
            f[j] = max(f[j - ] + val[j], mx[j - ] + val[j]);
            tmp = max(tmp, f[j - ]);
            mx[j - ] = tmp;
        }
    }
    ll ans = -oo;
    for(int i = m; i <= n; i++)
        ans = max(ans, f[i]);
    wr(ans), putchar('\n');
    return ;
}