https://oj.leetcode.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/

Suppose a sorted array is rotated at some pivot unknown to you beforehand.

(i.e., 0 1 2 4 5 6 7 might become 4 5 6 7 0 1 2).

Find the minimum element.

You may assume no duplicate exists in the array.

解题思路:

最朴素的O(n)的方法,就是找到突然变小的那个元素,肯定是最小的。否则就说明所有元素一直变大,本来就是排序的,则返回第一个元素。

public class Solution {
public int findMin(int[] num) {
if(num.length == 0){
return 0;
} int min = num[0]; for(int i = 0; i < num.length; i++){
if(num[i] < min){
return num[i];
}
}
return min;
}
}

不过本题还有一个二分查找的方法,可以将时间复杂度降为O(lgN)。代码如下。

public class Solution {
public int findMin(int[] num) {
if(num.length == 0){
return 0;
} if(num.length == 1){
return num[0];
} int start = 0;
int end = num.length - 1;
int min = Integer.MAX_VALUE; if(num[start] < num[end]){
return num[start];
} while(start <= end){
if(start == end){
return Math.min(min, num[start]);
}
int mid = (start + end) / 2; if(num[start] <= num[mid]){
min = Math.min(min, num[start]);
start = mid + 1;
}else{
min = Math.min(min, num[mid]);
end = mid - 1;
}
}
return min;
}
}

二分查找是一个很简单,却很难完全写对的算法,编程珠玑里写道,差不多只有10%的程序员能正确的实现它。问题主要处在边界变量的定义,和循环条件的定义上。让我们从程序的开头看起。

将end定义为length - 1,就意味着这是一个[0, length - 1]的左右都闭合的区间,所以循环的条件一定是start <= end。所以再到循环内部,start = mid + 1, end = mid - 1,都是因为这是一个闭合的区间,这样做才不会漏元素。

如果end定义为length,那么就意味着这个区间是左闭合有开的,[0, length)。所以后面while的条件就变为start < end,循环内部,start = mid + 1, end = mid。

这样理解起来就不会出错。其实这就是循环不变式的概念,loop invariant。可以参考下面的页面,对于这个比较基础的知识介绍的很好。

http://www.cppblog.com/converse/archive/2009/09/21/96893.aspx

update: 2015/03/11

下面一段我写的,更为简洁的代码。看几个例子,7 8 0 1 2 3 4 5 6,mid=2;3 4 5 6 7 8 0 1 2,mid=7。

mid > end的时候,代表前面是排序的,可能折断点在后面,于是start=mid+1。

mid < end的时候,代表后面是排序的,可能折断点在前面,但是这时候不能end = mid - 1。为什么?看一个例子,4 5 0 1 2。这时mid < end,但是mid就是折断点,所以这时end = mid。

mid == end的时候,说明当前mid就是最小值。

为什么mid要和end比较,不能和start?因为除非在start==end的情况,否则mid不可能等于end,但是start可能等于mid,比如只有两个元素,[2,1],这时start==mid<end,所以返回的是错误的2。

另外还要注意一点。while内部更新start和end的各个条件要符合互相没有交集,但是合起来又可以组成全集的原理。因为前半句违背了,可能一次更新多次start和end,这样有些范围就跳过不搜索了。后半句违背了,可能使得start和end得不到更新,引起死循环。

这个性质其实也和上面说的循环不变式同理,需要体会。

public class Solution {
public int findMin(int[] num) {
int start = 0;
int end = num.length - 1;
while(start <= end){
int mid = (start + end) / 2;
if(num[end] == num[mid]){
return num[mid];
}
if(num[end] < num[mid]){
start = mid + 1;
}
if(num[end] > num[mid]){
end = mid;
}
}
return -1;
}
}

二分查找的题目很多,基本原理就是这样,但是具体情况,mid的值和哪个值比较,状态变化和终止的条件,变化万千,需要细细体会。

这道题是二分查找里比较经典的题目,也比较灵活,相应条件的定义和start、end的转换可以有多种写法。

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