[ZJOI2008]骑士（基环树，树形dp）

[ZJOI2008]骑士

题目描述

Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。

最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。

骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。

战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。

为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

输入输出格式

输入格式：

输入文件knight.in第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。

接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。

输出格式：

输出文件knight.out应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3

10 2

20 3

30 1

输出样例#1： 复制

30

说明

对于30%的测试数据，满足N ≤ 10；

对于60%的测试数据，满足N ≤ 100；

对于80%的测试数据，满足N ≤ 10 000。

对于100%的测试数据，满足N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于 1 000 000的正整数。

题解

第一眼看题。

\(woc\)，为什么没有上司的舞会紫了。

码了码了水题目。

怎么有\(n\)条边。

原来是基环树\(Orz\)。

还是基环树森林（题目不保证联通）。

于是决定做一做秒开查题解

对于一颗基环树，我们能够确定的是如果在环上断开一条边。

那么这就是一颗正常的树了。

那么怎么断环呢。假设是根到随机一个点多了一条边。

就是根与那个点只能选一个。

其他的没有变化。

我们考虑随机断掉一条边。

判环是否形成用并查集维护就好了，不用强行遍历。

对于边连接的两个点做最简单的树形\(dp\)

\(f[i][0]\)表示不选当前节点

\(f[i][1]\)表示选当前节点

那么我们每次就判断这两个点那个价值大。

注意因为这两个点只能选一个，所以要强制不选一个点。

也就是说每次统计的是\(f[i][0]\)的贡献。

题解

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1000001;
struct node{
    int to,nex;
}e[N<<1];
ll f[N][2],fa[N],ans;
ll n,m,l[N],r[N],vi[N];
ll num,head[N];
ll read(){
    ll x=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*w;
}

void add(int from,int to){
    num++;
    e[num].to=to;
    e[num].nex=head[from];
    head[from]=num;
}

int find(int x){
    return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}

void dfs(int x,int fa){
    f[x][1]=vi[x];f[x][0]=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nex){
        int v=e[i].to;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,x);
        f[x][0]+=max(f[v][0],f[v][1]);
        f[x][1]+=f[v][0];
    }
}

int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        vi[i]=read();
        int x=read();
        if(find(i)==find(x))l[++m]=i,r[m]=x;
        else {
            fa[find(x)]=fa[find(i)];
            add(i,x);add(x,i);
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        ll tmp=0;
        dfs(l[i],0);tmp=f[l[i]][0];
        dfs(r[i],0);tmp=max(f[r[i]][0],tmp);
        ans+=tmp;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}