[模板]Matrix Tree定理

结论：一个图的生成树个数等于它的度数矩阵减邻接矩阵得到的矩阵（基尔霍夫矩阵）的任意一个n-1阶主子式的行列式的绝对值

证明：不会

求法：高斯消元

例题：[HEOI2013]小Z的房间

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int dx[]={0,1,0,-1},dy[]={1,0,-1,0},mod=1e9;
int n,m,mp[10][10],kir[90][90],cnt;
char s[10][10],ch[10];
inline bool ck(int x,int y) {return x&&(x<=n)&&y&&(y<=m)&&mp[x][y];}
inline void add(int x,int y) {if(x>y) return;kir[x][x]++,kir[y][y]++,kir[x][y]--,kir[y][x]--;}
inline int gauss() {
    int ans=1;
    for(int i=1;i<cnt;i++) {
        for(int j=i+1;j<cnt;j++)
            while(kir[j][i]) {
                int p=kir[i][i]/kir[j][i];
                for(int k=i;k<cnt;k++)
                    kir[i][k]=(kir[i][k]-p*kir[j][k]+mod)%mod;
                swap(kir[i],kir[j]);
                ans=-ans;
            }
        ans=(ans*kir[i][i])%mod;
    }
    return (ans+mod)%mod;
}
char c;
signed main() {
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=m;j++) {
            cin>>c;
            if(c=='.') mp[i][j]=++cnt;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<=m;j++) {
            if(mp[i][j])
            for(int d=0;d<4;d++) {
                const int nx=i+dx[d],ny=j+dy[d];
                if(mp[nx][ny]) add(mp[i][j],mp[nx][ny]);
            }
        }
    }
    /*
    for(int i=1;i<=cnt;i++) {
        for(int j=1;j<=cnt;j++) printf("%d ",kir[i][j]);
        printf("\n");
    }
    */
    cout<<gauss();
}

luogu 3790 文艺数学题

求无向图的所有生成树的权值gcd之和。

枚举所有gcd的值，然后反演一下。luogu的题解写的很清楚。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
const int N = 1000005;
int ph[N],prime[N],cnt;
bool vis[N];
void phi() {
    ph[1]=1;
    for(int i=2; i<=N-5; i++) {
        if(!vis[i]) {
            prime[++cnt]=i;
            ph[i]=i-1;
        }
        for(int j=1; j<=cnt; j++) {
            if(i*prime[j]<=N-5) {
                vis[i*prime[j]]=1;
            }
            else break;
            if(i%prime[j]==0){
                ph[i*prime[j]]=ph[i]*prime[j];break;
            }
            else ph[i*prime[j]]=ph[i]*ph[prime[j]];
        }
    }
}
int ksm(int d,int z) {
    int res=1;
    while(z) {
        if(z&1) res=(1ll*res*d)%mod;
        d=(1ll*d*d)%mod;
        z>>=1;
    }
    return res;
}
int top,st[3605],ed[3605],val[3605],kir[65][65],n,m,mx;
int bark[10000005],fa[65];
int find(int x) {return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
inline int gauss() {
    for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++) kir[i][j]=(kir[i][j]+mod)%mod;
    int ans=1,f=1;
    for(int i=1;i<n;i++) {
    	int p=i;
    	for(;!kir[p][i]&&p<n;p++);
    	if(p!=i) f=-f,swap(kir[p],kir[i]);
    	if(!kir[i][i]) return 0;
    	ans=1ll*ans*kir[i][i]%mod;
    	int inv=ksm(kir[i][i],mod-2);
    	for(int j=i+1;j<n;j++) {
    		if(!kir[j][i]) continue;
    		int tp=1ll*kir[j][i]*inv%mod;
    		for(int k=1;k<n;k++) kir[j][k]=(kir[j][k]-1ll*kir[i][k]*tp%mod+mod)%mod;
    	}
    }
    return (ans*f%mod+mod)%mod;
}
int main() {
    phi();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d%d",&st[i],&ed[i],&val[i]),st[i]--,ed[i]--;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        for(int j=1;j*j<=val[i];j++) {
            if(val[i]%j==0) {
                bark[j]++;
                if(j*j!=val[i]) bark[val[i]/j]++;
            }
        }
    }
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=1000000;i++) {
        if(bark[i]<n-1) continue;
        int cnt=0;
        for(int j=0;j<=n;j++) fa[j]=j;
        memset(kir,0,sizeof kir);
        for(int j=1;j<=m;j++) {
            if(val[j]%i==0) {
                if(find(st[j])!=find(ed[j]))
                cnt++,fa[find(st[j])]=fa[find(ed[j])];
                if(st[j]!=ed[j])
                kir[st[j]][st[j]]++,kir[ed[j]][ed[j]]++,kir[st[j]][ed[j]]--,kir[ed[j]][st[j]]--;
            }
        }
        if(cnt==n-1) ans=(ans+1ll*ph[i]*gauss())%mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}