BZOJ 2734 洛谷 3226 [HNOI2012]集合选数【状压DP】【思维题】

【题解】

　　思维题，看了别人的博客才会写。

　　写出这样的矩阵：

　　1,3,9,...

　　2,6,18,...

　　4,12.36,...

　　8,24,72,...

　　我们要做的就是从矩阵中选出一些数字，但是不能选相邻的。

　　我们可以发现，在100000的范围内，这个矩阵最多只有18行，11列。

　　那么这个矩阵的取数字的方案数直接状压DP即可。f[i][j]表示第i行，状态为j的方案数，转移就是f[i][j]=sigma(f[i-1][k]) ，条件是(j&k==0且k&(k>>1)==0)

　　但是这个矩阵不能覆盖值域之内的所有数字，怎么办呢？我们可以找到最小的没有被覆盖的数，用它放在(1,1)的位置构造一个类似的矩阵。

　　可以证明每个数字恰好在矩阵中出现一次。所以最终答案就是各个矩阵的答案相乘。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define LL long long
 #define rg register
 #define N 50
 #define MOD(x) ((x)>=mod?(x)-mod:(x))
 using namespace std;
 const int mod=;
 int n,ans=,a[N][N],mx[N],f[N][],exp[N];
 bool vis[];
 inline int read(){
     int k=,f=; char c=getchar();
     while(c<''||c>'')c=='-'&&(f=-),c=getchar();
     while(''<=c&&c<='')k=k*+c-'',c=getchar();
     return k*f;
 }

 inline int calc(int x){
     memset(mx,,sizeof(mx)); memset(f,,sizeof(f));
     a[][]=x;
     for(rg int i=;i<=;i++)a[i][]=(a[i-][]*<=n)?a[i-][]<<:n+;
     for(rg int i=;i<=;i++)
         for(rg int j=;j<=;j++) a[i][j]=(a[i][j-]*<=n)?a[i][j-]*:n+;
     for(rg int i=;i<=;i++)
         for(rg int j=;j<=;j++)if(a[i][j]<=n){
             mx[i]+=exp[j-];
             vis[a[i][j]]=;
         }
     f[][]=;
     for(rg int i=;i<=;i++)
         for(rg int j=;j<=mx[i];j++)if(!(j&(j>>)))
             for(rg int k=;k<=mx[i-];k++)if(!(j&k)&&!(k&(k>>)))
                 f[i][j]=MOD(f[i][j]+f[i-][k]);
     return f[][];
 }
 int main(){
     exp[]=; for(rg int i=;i<;i++) exp[i]=exp[i-]<<;
     n=read();
     for(rg int i=;i<=n;i++)if(!vis[i]) ans=(1ll*ans*calc(i))%mod;
     printf("%d",ans);
     return ;
 }