北京区域赛I题,Uva7676,A Boring Problem,前缀和差分

转载自https://blog.csdn.net/weixin_37517391/article/details/83821752

题解

其实这题不难,只要想到了前缀和差分就基本OK了.

我们要求的是第$i$项的式子:

$F(i)=(a_1+a_2+...+a_i)^k+(a_2+...+a_i)^k+...+a_i^k$

记$S_i = a_1 + a_2 +...+a_i,S_0=0$

$F(i) = (S_i-S_0)^k+(S_i-S_1)^k+...+(S_i-S_{i-1})^k$

二项式定理展开：

$F(i) = \sum_{t=0}^kC_k^tS_i^t(-S_0)^{k-t} +  \sum_{t=0}^kC_k^tS_i^t(-S_1)^{k-t} +...+ \sum_{t=0}^kC_k^tS_i^t(-S_{i-1})^{k-t}$

整理得：

$F(i) = \sum_{t=0}^k C_k^t S_i^t(-1)^{k-t} (S_0^{k-t}+S_1^{k-t}+...+S_{i-1}^{k-t})$

再记：

$SS[i][j] = S_0^i + S_1^i + ... + S_j^i$

那么

$F(i) = \sum_{t=0}^k C_k^t S_i^t(-1)^{k-t} (SS[k-t][i-1])$

注意到$SS$可以$O(nk)$预处理出来，$S$也可以$O(nk)$预处理出来，而$F(i)$就可以$O(k)$出来。

代码

 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 #define pr(x) std::cout << #x << ':' << x << std::endl
 #define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)

 typedef long long LL;
 const int N = ;
 const LL P = 1e9+;
 int T,n,k;
 char s[N];
 long long S[][N],SS[][N];
 long long C[][];
 void init() {
     C[][] = ;
     for(int i = ;i <= ;++i) {
         C[i][] = ;
         for(int j = ;j <= i;++j) {
             C[i][j] = (C[i-][j-] + C[i-][j]) % P;
         }
     }
 }
 int main() {
     std::ios::sync_with_stdio(false);
     init();
     std::cin >> T;
     while(T--) {
         std::cin >> n >> k;
         std::cin >> s;
         for(int i = ;i <= n;++i) S[][i] = ;
         for(int i = ;i <= n;++i) S[][i] = (s[i-]-'') + S[][i-] ;
         for(int i = ;i <= k;++i)
             for(int j = ;j <= n;++j)
                 S[i][j] = S[][j] * S[i-][j] % P;

         SS[][] = ;   //特殊化处理，0^0=1

         for(int i = ;i <= k;++i) {
             for(int j = ;j <= n;++j)
                 SS[i][j] = (SS[i][j-] + S[i][j])% P;
         }

         for(int i = ;i <= n;++i) {
             long long ans = ;
             for(int j = ;j <= k;++j) {
                 long long res = C[k][j]*S[j][i]%P*SS[k-j][i-]%P;
                 if((k-j)%==) ans = (ans + res) % P;
                 else ans = (ans - res + P) % P;
             }
             if(i != ) std::cout << " ";
             std::cout << ans;
         }
         std::cout << std::endl;
     }
     return ;
 }