洛谷 P1490 买蛋糕解题报告

P1490 买蛋糕

题目描述

野猫过生日，大家当然会送礼物了（咳咳，没送礼物的同志注意了哈！！），由于不知道送什么好，又考虑到实用性等其他问题，大家决定合伙给野猫买一个生日蛋糕。大家不知道最后要买的蛋糕的准确价格，而只会给蛋糕估价，即要买一个不超过多少钱的蛋糕。众OIer借此发挥：能否用最少的钱币数去凑成估价范围内的所有价值，使得不管蛋糕价值多少，都不用找钱……

现在问题由此引出：对于一个给定的n，能否用最少的不等的正整数去组成n以内（包括n）的所有的正整数呢？如果能，最少需要多少个正整数，用最少个数又有多少不同的组成方法呢？

输入输出格式

输入格式：

只有一行包含一个整数n(1<=n<=1000)。

输出格式：

一行两个数，第一个数是最少需要多少个数，第二个数是用最少个数的组成方案个数。两个答案用空格分隔。

首先明确第一个问题：这个最小的正整数是多少？

也许你可以打表看出来，也许不能，但别急，我们有看似靠谱一点的思维方法

看看样例：6

可行方案：

①$1$ $2$ $3$;

②$1$ $2$ $4$.

我们发现，对于方案①，组成3的时候有两种方法（1+2或3），而方案②只有一种。换而言之，3的利用是有浪费的。而不浪费的方案②还可以组成7。

那么，我们咋让她(每个数)都用好自己呢

很简单，百合就行了

联想一下二进制位下的数

$1$,$10$,$11$,$100$,$101$,$110$,$111$,$1000$...

可不是嘛，这个$2^i$的每个数利用率可高了

由此可知，二进制的位数即为这个最小的正整数。

想明白第一问以后，应该给出了一个相对的第二问的思维导向。（当然不绝对哈）

当每个数的利用率最大的时候，她们能够凑成的最大整数即为她们的和，这点是毋庸置疑的。

那么，在利用率相对不是那么大的时候呢？

我们注意到，此时已经有了一个限制条件：已有的最小正整数

手动模拟一下，确实是仍然成立的。（其实是不太会证啦）

这时候，我们就把参与量已使用的各数之和和凑成的最大整数搞到一起去了

考虑$dp[k]$代表凑成时$k$的方案数。看看这时候还要压哪些信息进去。

显然，剩下的必要信息还有第$i$个数和第$i$个数的值$j$

$dp[i][j][k]$表示已选$i$个数，第$i$个数为$j$，前$i$个数和为$k$（凑成的最大整数位$k$）的时候的方案数

转移方程 $dp[i+1][l][k+l]+=dp[i][j][k];$

其中$l$为枚举的下一个填充数

核心代码：

    dp[1][1][1]=1;

    for(int i=1;i<ans;i++)

        for(int j=i;j<=(1<<(i-1));j++)

            for(int k=i*(i-1)/2;k<(1<<i);k++)

                for(int l=j+1;l<=k+1;l++)

                    if(l+k<=n)

                        dp[i+1][l][k+l]+=dp[i][j][k];

                    else

                        dp[i+1][l][n]+=dp[i][j][k];

注意$j,k,l$的上下界，都是被已经得到的第一问给约束住了

当然，也没必要跑这么死，比如$k$从$i$开始反而会快一些。

至于$if$和$else$的判断，是为了方便求最后结果的一点点小贪心了。

2018.5.2