Partition Numbers的计算

partition numbers的定义

A000041

就是将正整数n分为k（\(1\le k\le n)\)个正整数相加，即\(n=a_1+a_2+...+a_k\)且\(a_1\le a_2\le a_3 ... \le a_k\)，的方案数是a(n)。

计算公式

Partition Numbers - Programming Praxis

代码

这个c++程序只能计算到a(121)，要算更大的需要用高精度，因为c++高精度要自己写，我就没写了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
ll dp[200];
ll p(int x){
	if(x<0)return 0;
	if(x<=1)return 1;
	if(dp[x])return dp[x];
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=x;i++){
		ans+=(ll)(i%2?1:-1)*(p(x-i*(i*3-1)/2)+p(x-i*(i*3+1)/2));
	}
	return dp[x]=ans;
}
int main() {
	for(int i=1;i<=121;i++)
	printf("a(%d)=%lld\n",i,p(i));
	return 0;
}

输出：

a(1)=1

a(2)=2

a(3)=3

a(4)=5

a(5)=7

a(6)=11

a(7)=15

a(8)=22

a(9)=30

a(10)=42

a(11)=56

a(12)=77

a(13)=101

a(14)=135

a(15)=176

a(16)=231

a(17)=297

a(18)=385

a(19)=490

a(20)=627

...

突然发现自己非常naive。发现HDU上有原题HDU-4651 Partition，就是求分拆数，题目有要求答案取模。

然后用五边形数定理得到递推式来算。代码如下

#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
#define N 100001
const ll M = 1e9+7;
int B[N]={1,1,2};
void get(int i){
    for(int j=1;;++j)
    for(int k=-1;k<2;k+=2){
        int w=(3*j*j+k*j)/2;
        if(w>i)return;
        if(j%2)B[i]=(B[i]+B[i-w])%M;
        else B[i]=(B[i]-B[i-w]+M)%M;
    }
}
int t,n;
int main() {
    for(int i=3;i<N;++i)
        get(i);
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",B[n]);
    }
    return 0;
}