Luogu 1941 【NOIP2014】飞扬的小鸟（动态规划）

Description

Flappy Bird 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。

为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编：

游戏界面是一个长为n ，高为 m 的二维平面，其中有k 个管道（忽略管道的宽度）。
小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。
小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为1，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度X ，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；
如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度Y 。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度X 和下降的高度Y 可能互不相同。
小鸟高度等于0 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 m 时，无法再上升。

现在，请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

Input

第1 行有3 个整数n ，m ，k，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个整数之间用一个空格隔开；接下来的n 行，每行2 个用一个空格隔开的整数X 和Y ，依次表示在横坐标位置0 ~n- 1上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度X ，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，小鸟在下一位置下降的高度Y 。接下来k 行，每行3 个整数P ，L ，H ，每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道，其中P 表示管道的横坐标，L 表示此管道缝隙的下边沿高度为L ，H 表示管道缝隙上边沿的高度（输入数据保证P 各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。

Output

第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出1 ，否则输出0 。

第二行，包含一个整数，如果第一行为1，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

Sample Input

10 10 6

3 9

9 9

1 2

1 3

1 2

1 1

2 1

2 1

1 6

2 2

1 2 7

5 1 5

6 3 5

7 5 8

8 7 9

9 1 3

Sample Output

1

6

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1941

Source

动态规划

解决思路

这道题目讲起来并不算太难，即完全背包+01背包。但细节不好调。

设F[i][j]表示在第i列高度为j的时候的最小点击数，令X[i]表示在第i列点击一次向上飞的距离，令Y[i]表示在第i列不点击是下降的距离。首先动态转移方程，因为鸟向上飞是可以点击多次的，为了防止出现在同一列即向上又向下的情况，所以先做完全背包。

$F[i][j]=min(F[i-1][j-X[i-1],F[i][j-X[i-1])\{j \in [X[i-1]+1,m]\}$

然后再做01背包

$F[i][j]=min(F[i][j],F[i-1][j+Y[i-1])\{j \in [1,m-Y[i-1]] \}$

另外还有特判高度为m的情况，也就是对于$j\in [m-Y[i-1],m]$有

$F[i][m]=min(F[i][m],F[i][j]+1,F[i-1][j]+1)$

大致的思路就是这样，下面讲一讲本题一些细节。

鸟是不能飞到高度为0的地方的，所以转移也不能从0转移过来，所以在考虑向上飞的情况时，j应该从X[i-1]+1开始，注意一定要+1
注意管道，如果题目中给出的下管道高度是L，上管道高度是R，则实际可以经过的范围应该是[L+1,R-1]，也就是说，如果有管道，不管上面的管道长度是多少，高度为m的地方都是不能走的
做向上飞的情况的时候要注意，虽然说理论上讲实际能飞的距离是[L+1,R-1]，但我们依然要从X[i-1]+1开始循环到最大，就算X[i-1]+1这个高度实际上是管道。为什么呢？这是由完全背包的性质决定的。比如说当前第i列下管道的高度是10，上一次点一次能飞的高度是3，那么如果我们从10+1=11开始循环，就只能从F[i-1][11-3]转移过来，而实际上可能F[i-1][2]点3次后的解更优。（自己手动模拟一下完全背包的运作过程，然后你就能发现这个问题）。最后执行完后我们再把是管道的地方的F置为不可解。
如果某一次的所有F都为不可解，那么说明无解，此时输出鸟飞过的管道个数

（更多细节请参考代码，已经在代码中标记出来啦）

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxN=20011;

const int maxM=2011;

const int inf=147483647;//注意这里inf去掉了前面的2，这里是为了方便做加法时不会出现负数

int n,m,K;

int X[maxN];//X[i]表示第i列点一次能飞的高度

int Y[maxN];//Y[i]表示第i列如果不点降低的高度

bool is_pipe[maxN];//is_pipe[i]表示第i列是否有管道，1为有，0为没有，方便统计飞过的管道数

int Pipe_up[maxN];//Pipe_up[i]表示第i列上管道的高度，如果没有，置为m+1

int Pipe_down[maxN];//Pipe_down[i]表示第i列下管道的高度，如果没有，置为0

int F[2][maxM];//滚动动归

int main()

{

	scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);

	memset(Pipe_up,0,sizeof(Pipe_up));

	memset(Pipe_down,0,sizeof(Pipe_down));

	memset(is_pipe,0,sizeof(is_pipe));

	for (int i=0;i<n;i++)

		scanf("%d%d",&X[i],&Y[i]);

	for (int i=1;i<=n;i++)//将管道的信息初始化

	{

		Pipe_down[i]=0;

		Pipe_up[i]=m+1;

	}

	for (int i=1;i<=K;i++)//读入管道

	{

		int pipe_pos,l,r;

		scanf("%d%d%d",&pipe_pos,&l,&r);

		Pipe_down[pipe_pos]=l;

		Pipe_up[pipe_pos]=r;

		is_pipe[pipe_pos]=1;

	}

	for (int i=1;i<=m;i++)//第0列初始化

		F[0][i]=0;

	int cnt=0;

	int Ans;

	for (int i=1;i<=n;i++)

	{

		int now=i&1;

		Ans=inf;//这个Ans有两个用处，一是在最后一次统计答案，二是用来判断本次运算完后是否出现无解的情况

		for (int j=0;j<=m;j++)//每一次先置为无穷大

			F[now][j]=inf;

		//cout<<Pipe_down[i]<<" "<<Pipe_up[i]<<endl;

		for (int j=X[i-1]+1;j<=m;j++)//先向上飞，注意循环初值

		{

			F[now][j]=min(F[!now][j-X[i-1]],F[now][j-X[i-1]])+1;

			//cout<<F[!now][j-X[i-1]]<<endl;

		}

		for (int j=m-X[i-1];j<=m;j++)//特判m的情况

		{

			F[now][m]=min(F[now][m],F[now][j]+1);

			F[now][m]=min(F[now][m],F[!now][j]+1);

		}

		for (int j=m-Y[i-1];j>=1;j--)//向下飞

			F[now][j]=min(F[now][j],F[!now][j+Y[i-1]]);

		cnt+=(int)(is_pipe[i]);//统计管道数

		for (int j=1;j<=m;j++)//统计当前最优解，如果是最后一列则是答案

		{

			if ((j<=Pipe_down[i])||(j>=Pipe_up[i]))

				F[now][j]=inf;

			Ans=min(Ans,F[now][j]);

		}

		if (Ans==inf)//如果Ans没有被更新，则说明此时无解，输出管道数。注意，因为无解的情况一定会出现在管道处，所以cnt-1

		{

			printf("0\n%d\n",cnt-1);

			return 0;

		}

		/*

		for (int j=1;j<=m;j++)

			if (F[now][j]!=inf)

				cout<<F[now][j]<<" ";

			else

				cout<<"i ";

		cout<<endl;

		//*/

	}

	printf("1\n%d\n",Ans);//如果有解，答案就在Ans里

	return 0;

}