机器学习实战 - 读书笔记(14) - 利用SVD简化数据

[comment]: # Machine Learning: 学习心得 - 14 - 利用SVD简化数据

前言

最近在看Peter Harrington写的“机器学习实战”，这是我的学习心得，这次是第14章 - 利用SVD简化数据。

这里介绍，机器学习中的降维技术，可简化样品数据。

基本概念

• 降维（dimensionality reduction）。
  
  如果样本数据的特征维度很大，会使得难以分析和理解。我们可以通过降维技术减少维度。
  
  降维技术并不是将影响少的特征去掉，而是将样本数据集转换成一个低维度的数据集。

降维技术的用途

• 使得数据集更易使用；
• 降低很多算法的计算开销；
• 去除噪声；
• 使得结果易懂。

问题：如何向用户推荐他喜欢的商品

推荐系统的应用场景

一个系统里有很多商品，也有用户信息，以及用户对商品的打分情况。例如：

表1

用户	商品1	商品2	商品3	商品4	商品5	...	商品d
user 1	0	0	2	5	3	...	0
user 2	0	0	3	4	2	...	0
user 3	0	0	2	5	4	...	0
user 4	5	4	0	0	0	...	0
user 5	3	5	0	0	0	...	0
...	...	...	...	...	...	...	...
user n	0	0	4	5	3	...	0

这些数据有以下特点：

1. 商品很多
2. 用户很多，一般情况下比商品多。
3. 用户不会对所有商品打分，没有打分的记为0，打分的记为1~5。

解决问题的思路

如果要对一个用户U推荐一个U没有买过的商品：

对于当前用户U的每个没有买过的商品A：
    对于系统中每个商品B，并且U给B打过分：
        根据A和B的打分数据，获取一个降维数据集。*1
        在降维数据集上，计算A和B的相似度Similarity。*2
        Rating = U给B的打分
        TotalSimilarity += Similarity
        TotalRating += Similarity * Rating
    A.Rating = TotalRating / TotalSimilarity
按照A.Rating从大到小排序。
打分高的商品作为推荐商品。

注：比如电影，一般用户不会看已经看过的电影，所以"没有买过的商品"在这是有特殊的意义。

也可以将这个条件根据实际的情况换成其它过滤条件。

根据上面的思路，我们还需要解决2个关键问题：

1. 如何降维。
2. 如何计算两个矢量（也可以看成2个点）的相似度。

如何计算2个矢量的相似度(Similarity)

先解决简单的问题。相似度是一个0到1的值。可以选择下面的方法来计算。

方法1：计算欧氏距离相似度。

两个点离得越近，越相似。

求两个点的距离D
Similarity = 1 / (1 + D)

方法2：计算皮尔逊相关系数（Pearson correlation）的相似度。

统计方法中求两组数据的相关度，

这两个点的correlationValue
Similarity = correlationValue / 2 + 0.5

方法3：计算角度的相似度。

计算两个点的角度，求余弦值（[-1, 1]）, 角度越接近0，越相似。

求两个点的角度的余弦值cosineValue.
Similarity = cosineValue / 2 + 0.5

如何降维

方法1： 只看对商品A和商品B都有打分的数据。

对于商品A和商品B，可以看作为两列数据，我们在这两列中，找出两个数据都不为0的行。

比如：表1中商品1和商品2，只要看4，5两行数据就可以。

• 这个方法的问题是
  • 每次计算都需要寻找相关数据。对性能的优化不够。

方法2： 奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

矩阵\(Data_{{m} \times {n}}\)，假设m < n。

奇异性分解可以将一个矩阵\(Data_{{m} \times {n}}\)分解成3个矩阵\(U_{{m} \times {m}}\), \(\Sigma_{{m} \times {n}}\), \(V^T_{{n} \times {n}}\)。

\(U\),\(V^T\)都是单式矩阵（unitary matrix）,\(\Sigma\)是一个对角矩阵（rectangular diagonal matrix），也就是说只有在对角线上才有值。

比如：

\[\begin{bmatrix}
15 & 0 & 0 \\
0 & 11 & 0 \\
0 & 0 & 0.2 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

这里主要介绍\(\Sigma\)，我们只关心它的对角线上的数据。

首先这个对角线上的数据最多有m个（假设m < n）。

而且这个数组是按照从大到小的顺序排列的。

\(\Sigma\)的对角线上的数据被称为奇异数（Singular Values）。

奇异数的一个特点是可以用来计算一个降维的\(SmallData_{{m} \times {k} (k < m)}\)来代替原数据集\(Data_{{m} \times {n}}\)。

一个计算\(k\)的方法是：

在\(Sigma\)中找到前\(k\)的数据，使得其\(\textstyle \sum_{i=1}^k s_i^2\) 刚好大于 \(0.9 \times \textstyle \sum_{i=1}^m s_i^2\)

这时:

\[SmallData_{{m} \times {k}} = Data^T U_{{m} \times {k}} \Sigma_{{k} \times {k}}^I \\
where \\
\qquad k < m \\
\qquad W^I : 矩阵W的逆矩阵
\]

总结

• 我们可以使用\(SmallData_{{m} \times {k}}\)作为降维后的数据集。
• SVD降维技术的应用可以是离线的。（也就是说可以事先做好。）

将SVD降维技术应用到数据近似压缩上

求近似数据集：

\[NewData_{{m} \times {n}} = U_{{m} \times {k}} \Sigma_{{k} \times {k}} V^T_{{k} \times {n}} \\
where \\
\qquad NewData_{{m} \times {n}} \approx Data_{{m} \times {n}} \\
\qquad k < m
\]

由于\(NewData_{{m} \times {n}}\)是计算出来的，

所以可以只保存\(U_{{m} \times {k}}\), \(\Sigma_{{k} \times {k}}\)的奇异值, \(V^T_{{k} \times {n}}\)做为压缩数据。

核心公式

• 相似度计算 - 欧氏距离

from numpy import *
def distanceSimilarity(A, B):
    return 1.0 / (1.0 + linalg.norm(A - B))

\[\frac{1}{1 + \lVert A - B \rVert} \\
where \\
\qquad \lVert w \rVert = \sqrt {\textstyle \sum_{i=1}^n w_i^2}
\]

• 相似度计算 - 皮尔逊相关系数（Pearson correlation）

from numpy import *
def correlationSimilarity(A, B):
    if len(A) < 3 : return 1.0
    return 0.5 + 0.5 * corrcoef(A, B, rowvar = 0)[0][1]

• 相似度计算 - 余弦相似度

\[\cos \theta = \frac{A^TB}{\lVert A \rVert \lVert B \rVert} \\
f(A, B) = 0.5 + 0.5 * \cos \theta \\
where \\
\qquad \lVert w \rVert = \sqrt {\textstyle \sum_{i=1}^n w_i^2}
\]

参考

• Machine Learning in Action by Peter Harrington
• Correlation and dependence
• Singular value decomposition