[机器学习&数据挖掘]朴素贝叶斯数学原理

1、准备：

(1)先验概率：根据以往经验和分析得到的概率，也就是通常的概率，在全概率公式中表现是“由因求果”的果

(2)后验概率：指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，通常为条件概率(但条件概率不全是后验概率)，在贝叶斯公式中表现为“执果求因”的因

例如：加工一批零件，甲加工60%，乙加工40%，甲有0.1的概率加工出次品，乙有0.15的概率加工出次品，求一个零件是不是次品的概率即为先验概率，已经得知一个零件是次品，求此零件是甲或乙加工的概率是后验概率

(3)全概率公式：设E为随机试验，B1，B2，....Bn为E的互不相容的随机事件，且P(Bi)>0(i=1,2....n), B1 U B2 U....U Bn = S,若A是E的事件，则有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　P(A) = P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+.....+P(Bn)P(A|Bn)

(4)贝叶斯公式：设E为随机试验，B1，B2，....Bn为E的互不相容的随机事件，且P(Bi)>0(i=1,2....n), B1 U B2 U....U Bn = S,E的事件A满足P(A)>0,则有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi)/(P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+.....+P(Bn)P(A|Bn))

(5)条件概率公式：P(A|B) = P(AB)/P(B)

(6)极大似然估计：极大似然估计在机器学习中想当于经验风险最小化，(离散分布)一般流程：确定似然函数(样本的联合概率分布)，这个函数是关于所要估计的参数的函数，然后对其取对数，然后求导，在令导数等于0的情况下，求得参数的值，此值便是参数的极大似然估计

注：经验风险：在度量一个模型的好坏，引入了损失函数，常见的损失函数有：0-1损失函数、平方损失函数、绝对损失函数、对数损失函数等，同时风险函数(期望风险)是对损失函数的期望，期望风险是关于联合分布的理论期望，但是理论的联合分布是无法求得的，只能利用样本来估计期望，因此引入经验风险，经验风险就是样本的平均损失，根据大数定理在样本趋于无穷大的时候，这个时候经验风险会无限趋近与期望风险

2、朴素贝叶斯算法

(1)思路：朴素贝叶斯算法的朴素在于对与特征之间看作相互独立的意思例如：输入向量(X1, X2,....,Xn)的各个元素是相互独立的，因此计算概率P(X1=x1,X2=x2,....Xn=xn)=P(X1=x1)P(X2=x2)......P(Xn=xn),其次基于贝叶斯定理，对于给定的训练数据集，首先基于特征条件独立假设学习联合概率分布，然后基于此模型，对于给定的输入向量，利用贝叶斯公式求出后验概率最大的输出分类标签

(2)详细：以判断输入向量x的类别的计算过程来具体说下朴素贝叶斯计算过程

　　<1>要计算输入向量x的类别，即是求在x的条件下的y的概率，当y取某值最大概率，则此值便为x的分类，则概率为P(Y=ck|X=x)

　　<2>利用条件概率公式推导贝叶斯公式(此步非必要，本人在记贝叶斯公式时习惯这么记)

　　　　由条件概率公式得P(Y=ck|X=x) = P(Y=ck,X=x)/P(X=x) = P(X=x | Y=ck)P(Y=ck)/P(X=x)

　　　　由全概率公式可得(替换P(X=x))：

　　<3>由于朴素贝叶斯的“朴素”，特征向量之间是相互独立的，因此可得如下公式：

　　　　　　　　

　　　<4>将<3>中的公式带入<2>中的贝叶斯公式可得：

　　　　　　　　

　　<5>看上式的分母，对于给定的输入向量X，以及Y的所有取值，全部都用了，详细的讲即为无论是计算在向量x条件下的任意一个Y值　　　　ck,k=1,2....K,向量和c1.....ck都用到了，因此影响P(Y=ck|X=x)大小只有分子起作用，因此可得

　　　　　　　　

　　注：argmax指的是取概率最大的ck

　　<6>其实到<5>朴素贝叶斯的整个过程已经完毕，但是其中的P(Y=ck)和P(X(j)=x(j)|Y=ck)的求解方法并没有说，二者得求解是根据极大似　　然估计法来得其概率，即得如下公式：

　　　

　　其中的I(..)是指示函数，当然这些概率在实际中可以很块求得，可以看如下得一个题，看完之后就知道这两个概率是怎么求了，公式推导　　过程不赘述(具体过程我也不太清楚，不过看作类似二项分布得极大似然求值)

3、题-----一看就把上边得串起来了(直接贴图)