【LOJ】#2526. 「HAOI2018」苹果树

题解

这计数题多水啊我怎么调了那么久啊

我不想老年化啊QAQ

（注意这里的二叉树带标号）

考虑\(g[i]\)表示\(i\)个点二叉树所有节点的深度和，\(f[i]\)表示\(i\)个点的二叉树两两节点之间的路径和

\(h[i]\)表示\(i\)个点的二叉树的方案数（实际上就是\(i!\)= =）

对于一个\(f[i]\)枚举左儿子大小\(j\)，右儿子大小是\(i - j - 1\)

计算的时候就是

\(g[i] = \binom{i - 1}{j}(g[j] * h[i - j - 1] + g[i - j - 1] * h[j])\)

\(f[i] = \binom{i - 1}{j}(f[j] * h[i - j - 1] +f[i - j - 1] * h[j])\)

\(f[i] += \binom{i - 1}{j} (h[i - j - 1](g[j] + h[j] * j) + h[j](g[i - j - 1] + h[i - j - 1] * (i - j - 1)))\)

前面的组合数表示给左右儿子新分配的标号

左儿子大小为\(j\)时右儿子有\(h[i - j - 1]\)中形态或标号不同的树和它搭配

最后\(g[i] += h[i] * (i - 1)\)

然后\(f[i] += g[i]\)

表示新加入的根节点所产生新的路径

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define pdi pair<db,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
#define eps 1e-8
#define MAXN 400005
#define mo 974711
//#define ivorysi
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 + c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}
int N,P;
int f[2005],g[2005],h[2005],C[2005][2005];
int inc(int a,int b) {
    return a + b >= P ? a + b - P : a + b;
}
int mul(int a,int b) {
    return 1LL * a * b % P;
}
void update(int &x,int y) {
    x = inc(x,y);
}
void Solve() {
    read(N);read(P);
    C[0][0] = 1;
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {
	C[i][0] = 1;
	for(int j = 1 ; j <= i ; ++j) {
	    C[i][j] = inc(C[i - 1][j - 1],C[i - 1][j]);
	}
    }
    h[0] = 1;h[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= N ; ++i) {
	for(int j = 0 ; j < i ; ++j) {
	    int t = mul(mul(h[j] , h[i - j - 1]) , C[i - 1][j]);
	    update(h[i],t);
	    update(g[i],mul(inc(mul(g[j],h[i - j - 1]) , mul(g[i - j - 1],h[j])) , C[i - 1][j]));
	    update(g[i],mul(t,i - 1));
	    update(f[i],mul(inc(mul(f[j] , h[i - j - 1]), mul(f[i - j - 1] , h[j])) , C[i - 1][j]));
	    int ta = mul(i - j - 1 , inc(g[j] , mul(h[j],j)));
	    int tb = mul(j , inc(g[i - j - 1] , mul(h[i - j - 1] , i - j - 1)));
	    update(f[i],mul(inc(mul(ta,h[i - j - 1]) , mul(tb,h[j])) , C[i - 1][j]));
	}
	update(f[i],g[i]);
    }
    out(f[N]);enter;
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Solve();
}